三角関数例

$f (x) = - 5 \cos (6 x)$

ステップ 1

$f (x) = - 5 \cos (6 x)$ を方程式で書きます。

$y = - 5 \cos (6 x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = - 5 \cos (6 y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $- 5 \cos (6 y) = x$ として書き換えます。

$- 5 \cos (6 y) = x$

ステップ 3.2

$- 5 \cos (6 y) = x$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 5 \cos (6 y) = x$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 \cos (6 y)}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 \cos (6 y)}{- 5} = \frac{x}{- 5}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\cos (6 y)$ を $1$ で割ります。

$\cos (6 y) = \frac{x}{- 5}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (6 y) = - \frac{x}{5}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$6 y = \arccos (- \frac{x}{5})$

ステップ 3.4

$6 y = \arccos (- \frac{x}{5})$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.1

$6 y = \arccos (- \frac{x}{5})$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}$

ステップ 3.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 y}{6} = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}$

ステップ 3.4.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}$ が $f (x) = - 5 \cos (6 x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (- 5 \cos (6 x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (- 5 \cos (6 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- 5 \cos (6 x)}{5})}{6}$

ステップ 5.2.3

$- 5$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$5$ を $- 5 \cos (6 x)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (- 5 \cos (6 x)) = \frac{\arccos (- \frac{5 (- \cos (6 x))}{5})}{6}$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$f^{- 1} (- 5 \cos (6 x)) = \frac{\arccos (- \frac{5 (- \cos (6 x))}{5 (1)})}{6}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (- 5 \cos (6 x)) = \frac{\arccos (- \frac{5 (- \cos (6 x))}{5 \cdot 1})}{6}$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (- 5 \cos (6 x)) = \frac{\arccos (- \frac{- \cos (6 x)}{1})}{6}$

ステップ 5.2.3.2.4

$- \cos (6 x)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (- 5 \cos (6 x)) = \frac{\arccos (\cos (6 x))}{6}$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6})$ の値を求めます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}) = - 5 \cos (6 (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}))$

ステップ 5.3.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}) = - 5 \cos (6 (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}))$

ステップ 5.3.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}) = - 5 \cos (\arccos (- \frac{x}{5}))$

ステップ 5.3.4

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}) = - 5 (- \frac{x}{5})$

ステップ 5.3.5

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

$- \frac{x}{5}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}) = - 5 \frac{- x}{5}$

ステップ 5.3.5.2

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}) = 5 (- 1) (\frac{- x}{5})$

ステップ 5.3.5.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}) = 5 \cdot (- 1 \frac{- x}{5})$

ステップ 5.3.5.4

式を書き換えます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}) = - 1 (- x)$

ステップ 5.3.6

掛け算します。

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ステップ 5.3.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}) = 1 x$

ステップ 5.3.6.2

$x$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}$ は $f (x) = - 5 \cos (6 x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\arccos (- \frac{x}{5})}{6}$

三角関数 例

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