三角関数例

$f (x) = 6^{x} - 3$

ステップ 1

$f (x) = 6^{x} - 3$ を方程式で書きます。

$y = 6^{x} - 3$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 6^{y} - 3$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $6^{y} - 3 = x$ として書き換えます。

$6^{y} - 3 = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$6^{y} = x + 3$

ステップ 3.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (6^{y}) = \ln (x + 3)$

ステップ 3.4

$y$ を対数の外に移動させて、 $\ln (6^{y})$ を展開します。

$y \ln (6) = \ln (x + 3)$

ステップ 3.5

$y \ln (6) = \ln (x + 3)$ の各項を $\ln (6)$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$y \ln (6) = \ln (x + 3)$ の各項を $\ln (6)$ で割ります。

$\frac{y \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$\ln (6)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \ln (6)}{\ln (6)} = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$

ステップ 3.5.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$ が $f (x) = 6^{x} - 3$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (6^{x} - 3)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = \frac{\ln ((6^{x} - 3) + 3)}{\ln (6)}$

ステップ 5.2.3

$6^{x} - 3 + 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.2.3.1

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = \frac{\ln (6^{x} + 0)}{\ln (6)}$

ステップ 5.2.3.2

$6^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = \frac{\ln (6^{x})}{\ln (6)}$

ステップ 5.2.4

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (6^{x})$ を展開します。

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

ステップ 5.2.5

$\ln (6)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.5.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = \frac{x \ln (6)}{\ln (6)}$

ステップ 5.2.5.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (6^{x} - 3) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)})$ の値を求めます。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}) = 6^{\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}} - 3$

ステップ 5.3.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

底の変換公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ を利用します。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}) = 6^{\log_{6} (x + 3)} - 3$

ステップ 5.3.3.2

指数関数と対数関数は逆関数です。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}) = x + 3 - 3$

ステップ 5.3.4

$x + 3 - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 5.3.4.1

$3$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}) = x + 0$

ステップ 5.3.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$ は $f (x) = 6^{x} - 3$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 3)}{\ln (6)}$

三角関数 例

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