三角関数例

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) - 1 = 0$

ステップ 2

$\sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 1$ を移動させます。

$\sin^{2} (32 °) - 1 + \cos^{2} (m) = 0$

ステップ 2.2

$\sin^{2} (32 °)$ と $- 1$ を並べ替えます。

$- 1 + \sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

ステップ 2.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- 1 (1) + \sin^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

ステップ 2.4

$- 1$ を $\sin^{2} (32 °)$ で因数分解します。

$- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

ステップ 2.5

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (32 °))$ で因数分解します。

$- 1 (1 - \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

ステップ 2.6

$- 1 (1 - \sin^{2} (32 °))$ を $- (1 - \sin^{2} (32 °))$ に書き換えます。

$- (1 - \sin^{2} (32 °)) + \cos^{2} (m) = 0$

ステップ 2.7

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \cos^{2} (32 °) + \cos^{2} (m) = 0$

ステップ 2.8

$- \cos^{2} (32 °)$ と $\cos^{2} (m)$ を並べ替えます。

$\cos^{2} (m) - \cos^{2} (32 °) = 0$

ステップ 2.9

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (m)$ であり、 $b = \cos (32 °)$ です。

$(\cos (m) + \cos (32 °)) (\cos (m) - \cos (32 °)) = 0$

ステップ 2.10

$\cos (32 °)$ の値を求めます。

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - \cos (32 °)) = 0$

ステップ 2.11

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1

$\cos (32 °)$ の値を求めます。

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 1 \cdot 0.84804809) = 0$

ステップ 2.11.2

$- 1$ に $0.84804809$ をかけます。

$(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

ステップ 2.12

分配法則（FOIL法）を使って $(\cos (m) + 0.84804809) (\cos (m) - 0.84804809)$ を展開します。

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ステップ 2.12.1

分配則を当てはめます。

$\cos (m) (\cos (m) - 0.84804809) + 0.84804809 (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

ステップ 2.12.2

分配則を当てはめます。

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 (\cos (m) - 0.84804809) = 0$

ステップ 2.12.3

分配則を当てはめます。

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

ステップ 2.13

$\cos (m) \cos (m) + \cos (m) \cdot - 0.84804809 + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.13.1

$\cos (m) \cdot - 0.84804809$ と $0.84804809 \cos (m)$ について因数を並べ替えます。

$\cos (m) \cos (m) - 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

ステップ 2.13.2

$- 0.84804809 \cos (m)$ と $0.84804809 \cos (m)$ をたし算します。

$\cos (m) \cos (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

ステップ 2.14

各項を簡約します。

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ステップ 2.14.1

$\cos (m) \cos (m)$ を掛けます。

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ステップ 2.14.1.1

$\cos (m)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (m) \cos (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

ステップ 2.14.1.2

$\cos (m)$ を $1$ 乗します。

$\cos^{1} (m) \cos^{1} (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

ステップ 2.14.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\cos (m)}^{1 + 1} + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

ステップ 2.14.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos^{2} (m) + 0 \cos (m) + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

ステップ 2.14.2

$0$ に $\cos (m)$ をかけます。

$\cos^{2} (m) + 0 + 0.84804809 \cdot - 0.84804809 = 0$

ステップ 2.14.3

$0.84804809$ に $- 0.84804809$ をかけます。

$\cos^{2} (m) + 0 - 0.71918557 = 0$

ステップ 2.15

$\cos^{2} (m)$ と $0$ をたし算します。

$\cos^{2} (m) - 0.71918557 = 0$

ステップ 3

$m$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $0.71918557$ を足します。

$\cos^{2} (m) = 0.71918557$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\cos (m) = \pm \sqrt{0.71918557}$

ステップ 3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$

ステップ 3.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$

ステップ 3.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}, - \sqrt{0.71918557}$

ステップ 3.4

各解を求め、 $m$ を解きます。

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$

ステップ 3.5

$\cos (m) = \sqrt{0.71918557}$ の $m$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $m$ を取り出します。

$m = \arccos (\sqrt{0.71918557})$

ステップ 3.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$\arccos (\sqrt{0.71918557})$ の値を求めます。

$m = 32$

ステップ 3.5.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$m = 360 - 32$

ステップ 3.5.4

$360$ から $32$ を引きます。

$m = 328$

ステップ 3.5.5

$\cos (m)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.5.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 3.5.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 3.5.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 3.5.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 3.5.6

$\cos (m)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$m = 32 + 360 n, 328 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.6

$\cos (m) = - \sqrt{0.71918557}$ の $m$ について解きます。

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ステップ 3.6.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $m$ を取り出します。

$m = \arccos (- \sqrt{0.71918557})$

ステップ 3.6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.6.2.1

$\arccos (- \sqrt{0.71918557})$ の値を求めます。

$m = 148$

ステップ 3.6.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $360$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$m = 360 - 148$

ステップ 3.6.4

$360$ から $148$ を引きます。

$m = 212$

ステップ 3.6.5

$\cos (m)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.6.5.1

関数の期間は $\frac{360}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{360}{| b |}$

ステップ 3.6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{360}{| 1 |}$

ステップ 3.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{360}{1}$

ステップ 3.6.5.4

$360$ を $1$ で割ります。

$360$

ステップ 3.6.6

$\cos (m)$ 関数の周期が $360$ なので、両方向で $360$ 度ごとに値を繰り返します。

$m = 148 + 360 n, 212 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.7

すべての解をまとめます。

$m = 32 + 360 n, 328 + 360 n, 148 + 360 n, 212 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.8

解をまとめます。

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ステップ 3.8.1

$212 + 360 n$ と $32 + 180 n$ を $32 + 360 n$ にまとめます。

$m = 32 + 180 n, 328 + 360 n, 148 + 360 n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.8.2

$148 + 360 n$ と $148 + 180 n$ を $328 + 360 n$ にまとめます。

$m = 32 + 180 n, 148 + 180 n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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