三角関数例

$14 (1 - \cos (θ)) = \sin^{2} (θ)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sin^{2} (θ)$ を引きます。

$14 (1 - \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$14 \cdot 1 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.2

$14$ に $1$ をかけます。

$14 + 14 (- \cos (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

ステップ 2.3

$- 1$ に $14$ をかけます。

$14 - 14 \cos (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

ステップ 3

$\sin^{2} (θ)$ を $1 - \cos^{2} (θ)$ で置き換えます。

$14 - 14 \cos (θ) - (1 - \cos^{2} (θ)) = 0$

ステップ 4

$θ$ について解きます。

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ステップ 4.1

$u$ を $\cos (θ)$ に代入します。

$14 - 14 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

ステップ 4.2

$14 - 14 u - (1 - u^{2})$ を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

分配則を当てはめます。

$14 - 14 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$14 - 14 u - 1 - - u^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.3

$- - u^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.1.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$14 - 14 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.3.2

$u^{2}$ に $1$ をかけます。

$14 - 14 u - 1 + u^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

$14$ から $1$ を引きます。

$- 14 u + 13 + u^{2} = 0$

ステップ 4.3

たすき掛けを利用して $- 14 u + 13 + u^{2}$ を因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $13$ で、その和が $- 14$ です。

$- 13, - 1$

ステップ 4.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 13) (u - 1) = 0$

ステップ 4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 13 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 4.5

$u - 13$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$u - 13$ が $0$ に等しいとします。

$u - 13 = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺に $13$ を足します。

$u = 13$

ステップ 4.6

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.6.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 4.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 4.7

最終解は $(u - 13) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 13, 1$

ステップ 4.8

$\cos (θ)$ を $u$ に代入します。

$\cos (θ) = 13, 1$

ステップ 4.9

各解を求め、 $θ$ を解きます。

$\cos (θ) = 13$

$\cos (θ) = 1$

ステップ 4.10

$\cos (θ) = 13$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 4.10.1

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $13$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 4.11

$\cos (θ) = 1$ の $θ$ について解きます。

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ステップ 4.11.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $θ$ を取り出します。

$θ = \arccos (1)$

ステップ 4.11.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.11.2.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$θ = 0$

ステップ 4.11.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$θ = 2 π - 0$

ステップ 4.11.4

$2 π$ から $0$ を引きます。

$θ = 2 π$

ステップ 4.11.5

$\cos (θ)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.11.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.11.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.11.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.11.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.11.6

$\cos (θ)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.12

すべての解をまとめます。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.13

答えをまとめます。

$θ = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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