三角関数例

 $\begin{matrix} Side & Angle \\ \begin{matrix} b = \\ c = \\ a = & 12 \end{matrix} & \begin{matrix} A = & 60 \\ B = & 30 \\ C = & 90 \end{matrix} \end{matrix}$

ステップ 1

$c$ を求めます。

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ステップ 1.1

角の余弦は隣接する辺と斜辺の比に等しいです。

$\cos (B) = \frac{adj}{hyp}$

ステップ 1.2

各辺の名称を余弦関数の定義に代入します。

$\cos (B) = \frac{a}{c}$

ステップ 1.3

方程式を立て、 $c$ のとき斜辺について解きます。

$c = \frac{a}{\cos (B)}$

ステップ 1.4

各変数の値を余弦の公式に代入します。

$c = \frac{12}{\cos (30)}$

ステップ 1.5

$\cos (30)$ の値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$c = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

ステップ 1.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$c = 12 (\frac{2}{\sqrt{3}})$

ステップ 1.7

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$c = 12 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

ステップ 1.8

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.8.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

ステップ 1.8.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

ステップ 1.8.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})$

ステップ 1.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})$

ステップ 1.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})$

ステップ 1.8.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 1.8.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 1.8.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 1.8.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 1.8.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.8.6.4.1

共通因数を約分します。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 1.8.6.4.2

式を書き換えます。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 1.8.6.5

指数を求めます。

$c = 12 (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 1.9

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.9.1

$3$ を $12$ で因数分解します。

$c = 3 (4) (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 1.9.2

共通因数を約分します。

$c = 3 \cdot (4 (\frac{2 \sqrt{3}}{3}))$

ステップ 1.9.3

式を書き換えます。

$c = 4 (2 \sqrt{3})$

ステップ 1.10

$2$ に $4$ をかけます。

$c = 8 \sqrt{3}$

ステップ 2

ピタゴラスの定理を利用して三角形の最後の辺を求めます。

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ステップ 2.1

ピタゴラスの定理を利用して未知の辺を求めます。直角三角形において、斜辺（直角の反対にある直角三角形の辺）を辺とする正方形の面積は、2本（斜辺以外の2辺）を辺とする正方形の面積の和に等しくなります。

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

ステップ 2.2

$b$ について方程式を解きます。

$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$

ステップ 2.3

実際の値を方程式に代入します。

$b = \sqrt{{(8 \sqrt{3})}^{2} - {(12)}^{2}}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

積の法則を $8 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$b = \sqrt{8^{2} {\sqrt{3}}^{2} - {(12)}^{2}}$

ステップ 2.4.2

$8$ を $2$ 乗します。

$b = \sqrt{64 {\sqrt{3}}^{2} - {(12)}^{2}}$

ステップ 2.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$b = \sqrt{64 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(12)}^{2}}$

ステップ 2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(12)}^{2}}$

ステップ 2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(12)}^{2}}$

ステップ 2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.1

共通因数を約分します。

$b = \sqrt{64 \cdot 3^{\frac{2}{2}} - {(12)}^{2}}$

ステップ 2.5.4.2

式を書き換えます。

$b = \sqrt{64 \cdot 3 - {(12)}^{2}}$

ステップ 2.5.5

指数を求めます。

$b = \sqrt{64 \cdot 3 - {(12)}^{2}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$64$ に $3$ をかけます。

$b = \sqrt{192 - {(12)}^{2}}$

ステップ 2.6.2

$12$ を $2$ 乗します。

$b = \sqrt{192 - 1 \cdot 144}$

ステップ 2.6.3

$- 1$ に $144$ をかけます。

$b = \sqrt{192 - 144}$

ステップ 2.6.4

$192$ から $144$ を引きます。

$b = \sqrt{48}$

ステップ 2.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$b = \sqrt{16 (3)}$

ステップ 2.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$b = \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

ステップ 2.8

累乗根の下から項を取り出します。

$b = 4 \sqrt{3}$

ステップ 3

与えられた三角形のすべての角と辺についての結果です。

$A = 60$

$B = 30$

$C = 90$

$a = 12$

$b = 4 \sqrt{3}$

$c = 8 \sqrt{3}$

三角関数 例

三角関数例