三角関数例

2 sin (2 x) - 1 = 0

$2 \sin (2 x) - 1 = 0$ ,

$[0, 2 π)$

ステップ 1

方程式の両辺に

$1$ を足します。

$2 \sin (2 x) = 1$

ステップ 2

$2 \sin (2 x) = 1$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \sin (2 x) = 1$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (2 x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.1.2

$\sin (2 x)$ を

$1$ で割ります。

$\sin (2 x) = \frac{1}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から

$x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は

$\frac{π}{6}$ です。

$2 x = \frac{π}{6}$

ステップ 5

$2 x = \frac{π}{6}$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$2 x = \frac{π}{6}$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.3.2

$\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\frac{π}{6}$ に

$\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

ステップ 5.3.2.2

$6$ に

$2$ をかけます。

$x = \frac{π}{12}$

ステップ 6

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 7

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.1.2

$π$ と

$\frac{6}{6}$ をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 7.1.4

$π \cdot 6$ から

$π$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.4.1

$π$ と

$6$ を並べ替えます。

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 7.1.4.2

$6 \cdot π$ から

$π$ を引きます。

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

ステップ 7.2

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 7.2.2.1.2

$x$ を

$1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 7.2.3.2

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ に

$\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

ステップ 7.2.3.2.2

$6$ に

$2$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{12}$

ステップ 8

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の

$b$ を

$2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 8.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$2$ の間の距離は

$2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 8.4.2

$π$ を

$1$ で割ります。

$π$

ステップ 9

$\sin (2 x)$ 関数の周期が

$π$ なので、両方向で

$π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 10

区間

$[0, 2 π)$ 内で値をつくる

$n$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$0$ を

$n$ に代入して簡約し、解が

$[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$0$ を

$n$ に代入します。

$\frac{π}{12} + π (0)$

ステップ 10.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.2.1

$π$ に

$0$ をかけます。

$\frac{π}{12} + 0$

ステップ 10.1.2.2

$\frac{π}{12}$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{π}{12}$

ステップ 10.1.3

区間

$[0, 2 π)$ は

$\frac{π}{12}$ を含みます。

$x = \frac{π}{12}$

ステップ 10.2

$0$ を

$n$ に代入して簡約し、解が

$[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$0$ を

$n$ に代入します。

$\frac{5 π}{12} + π (0)$

ステップ 10.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$π$ に

$0$ をかけます。

$\frac{5 π}{12} + 0$

ステップ 10.2.2.2

$\frac{5 π}{12}$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{5 π}{12}$

ステップ 10.2.3

区間

$[0, 2 π)$ は

$\frac{5 π}{12}$ を含みます。

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}$

ステップ 10.3

$1$ を

$n$ に代入して簡約し、解が

$[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$1$ を

$n$ に代入します。

$\frac{π}{12} + π (1)$

ステップ 10.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$π$ に

$1$ をかけます。

$\frac{π}{12} + π$

ステップ 10.3.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{12}{12}$ を掛けます。

$\frac{π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

ステップ 10.3.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.3.1

$π$ と

$\frac{12}{12}$ をまとめます。

$\frac{π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

ステップ 10.3.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π + π \cdot 12}{12}$

ステップ 10.3.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.4.1

$12$ を

$π$ の左に移動させます。

$\frac{π + 12 \cdot π}{12}$

ステップ 10.3.2.4.2

$π$ と

$12 π$ をたし算します。

$\frac{13 π}{12}$

ステップ 10.3.3

区間

$[0, 2 π)$ は

$\frac{13 π}{12}$ を含みます。

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}$

ステップ 10.4

$1$ を

$n$ に代入して簡約し、解が

$[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.1

$1$ を

$n$ に代入します。

$\frac{5 π}{12} + π (1)$

ステップ 10.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.1

$π$ に

$1$ をかけます。

$\frac{5 π}{12} + π$

ステップ 10.4.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{12}{12}$ を掛けます。

$\frac{5 π}{12} + π \cdot \frac{12}{12}$

ステップ 10.4.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.3.1

$π$ と

$\frac{12}{12}$ をまとめます。

$\frac{5 π}{12} + \frac{π \cdot 12}{12}$

ステップ 10.4.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{5 π + π \cdot 12}{12}$

ステップ 10.4.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.4.2.4.1

$12$ を

$π$ の左に移動させます。

$\frac{5 π + 12 \cdot π}{12}$

ステップ 10.4.2.4.2

$5 π$ と

$12 π$ をたし算します。

$\frac{17 π}{12}$

ステップ 10.4.3

区間

$[0, 2 π)$ は

$\frac{17 π}{12}$ を含みます。

$x = \frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{13 π}{12}, \frac{17 π}{12}$

三角関数 例

三角関数例