三角関数例

$x^{3} + 64 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} + 4^{3} = 0$

ステップ 1.2

両項とも完全立方なので、立方の和の公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

ステップ 1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

ステップ 1.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

ステップ 3

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 4

$x^{2} - 4 x + 16$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x^{2} - 4 x + 16$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.2.2

$a = 1$ 、 $b = - 4$ 、および $c = 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.3.3

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.4.3

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.2.5.3

$\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

ステップ 4.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

ステップ 5

最終解は $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

三角関数 例

三角関数例