三角関数例

$g (x) = 4 \cos (2 x - π) - 2$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

総和則では、 $4 \cos (2 x - π) - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 \cos (2 x - π)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \cos (2 x - π)$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\cos (2 x - π)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x - π$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - π$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$4 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x - π$ で置き換えます。

$4 (- \sin (2 x - π) \frac{d}{d x} [2 x - π]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $2 x - π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ です。

$4 (- \sin (2 x - π) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.6

$- π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π$ の微分係数は $0$ です。

$4 (- \sin (2 x - π) (2 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.7

$2$ に $1$ をかけます。

$4 (- \sin (2 x - π) (2 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.8

$2$ と $0$ をたし算します。

$4 (- \sin (2 x - π) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 (- 2 \sin (2 x - π)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.2.10

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- 8 \sin (2 x - π) + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 8 \sin (2 x - π) + 0$

ステップ 1.3.2

$- 8 \sin (2 x - π)$ と $0$ をたし算します。

$- 8 \sin (2 x - π)$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 \sin (2 x - π)$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [\sin (2 x - π)]$ です。

$g'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \sin (2 x - π)$

ステップ 2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x - π$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - π$ とします。

$g'' (x) = - 8 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

ステップ 2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$g'' (x) = - 8 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x - π$ で置き換えます。

$g'' (x) = - 8 (\cos (2 x - π) \frac{d}{d x} (2 x - π))$

ステップ 2.3

微分します。

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ステップ 2.3.1

総和則では、 $2 x - π$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ です。

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

ステップ 2.3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

ステップ 2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

ステップ 2.3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 + \frac{d}{d x} (- π))$

ステップ 2.3.5

$- π$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- π$ の微分係数は $0$ です。

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) (2 + 0)$

ステップ 2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 2.3.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$g'' (x) = - 8 \cos (2 x - π) \cdot 2$

ステップ 2.3.6.2

$2$ に $- 8$ をかけます。

$g'' (x) = - 16 \cos (2 x - π)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- 8 \sin (2 x - π) = 0$

ステップ 4

$- 8 \sin (2 x - π) = 0$ の各項を $- 8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 8 \sin (2 x - π) = 0$ の各項を $- 8$ で割ります。

$\frac{- 8 \sin (2 x - π)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 \sin (2 x - π)}{- 8} = \frac{0}{- 8}$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (2 x - π)$ を $1$ で割ります。

$\sin (2 x - π) = \frac{0}{- 8}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$0$ を $- 8$ で割ります。

$\sin (2 x - π) = 0$

ステップ 5

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x - π = \arcsin (0)$

ステップ 6

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$2 x - π = 0$

ステップ 7

方程式の両辺に $π$ を足します。

$2 x = π$

ステップ 8

$2 x = π$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2 x = π$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 8.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 8.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 9

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$2 x - π = π - 0$

ステップ 10

$x$ について解きます。

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ステップ 10.1

$π$ から $0$ を引きます。

$2 x - π = π$

ステップ 10.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

方程式の両辺に $π$ を足します。

$2 x = π + π$

ステップ 10.2.2

$π$ と $π$ をたし算します。

$2 x = 2 π$

ステップ 10.3

$2 x = 2 π$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$2 x = 2 π$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

ステップ 10.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2}$

ステップ 10.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2 π}{2}$

ステップ 10.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{2 π}{2}$

ステップ 10.3.3.1.2

$π$ を $1$ で割ります。

$x = π$

ステップ 11

方程式 $2 x - π = 0$ に対する解です。

$x = \frac{π}{2}, π$

ステップ 12

$x = \frac{π}{2}$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 16 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π)$

ステップ 13

二次導関数の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1.1

共通因数を約分します。

$- 16 \cos (2 \frac{π}{2} - π)$

ステップ 13.1.2

式を書き換えます。

$- 16 \cos (π - π)$

ステップ 13.2

$π$ から $π$ を引きます。

$- 16 \cos (0)$

ステップ 13.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 16 \cdot 1$

ステップ 13.4

$- 16$ に $1$ をかけます。

$- 16$

ステップ 14

$x = \frac{π}{2}$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = \frac{π}{2}$ は極大値です

ステップ 15

$x = \frac{π}{2}$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 2$

ステップ 15.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (2 (\frac{π}{2}) - π) - 2$

ステップ 15.2.1.1.2

式を書き換えます。

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (π - π) - 2$

ステップ 15.2.1.2

$π$ から $π$ を引きます。

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cos (0) - 2$

ステップ 15.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$g (\frac{π}{2}) = 4 \cdot 1 - 2$

ステップ 15.2.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$g (\frac{π}{2}) = 4 - 2$

ステップ 15.2.2

$4$ から $2$ を引きます。

$g (\frac{π}{2}) = 2$

ステップ 15.2.3

最終的な答えは $2$ です。

$y = 2$

ステップ 16

$x = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- 16 \cos (2 (π) - π)$

ステップ 17

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 17.1

$2 π$ から $π$ を引きます。

$- 16 \cos (π)$

ステップ 17.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- 16 (- \cos (0))$

ステップ 17.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- 16 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 17.4

$- 16 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 16 \cdot - 1$

ステップ 17.4.2

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$16$

ステップ 18

$x = π$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$x = π$ は極小値です

ステップ 19

$x = π$ のときy値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

式の変数 $x$ を $π$ で置換えます。

$g (π) = 4 \cos (2 (π) - π) - 2$

ステップ 19.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.1

$2 π$ から $π$ を引きます。

$g (π) = 4 \cos (π) - 2$

ステップ 19.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$g (π) = 4 (- \cos (0)) - 2$

ステップ 19.2.1.3

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$g (π) = 4 (- 1 \cdot 1) - 2$

ステップ 19.2.1.4

$4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$g (π) = 4 \cdot - 1 - 2$

ステップ 19.2.1.4.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$g (π) = - 4 - 2$

ステップ 19.2.2

$- 4$ から $2$ を引きます。

$g (π) = - 6$

ステップ 19.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$y = - 6$

ステップ 20

$g (x) = 4 \cos (2 x - π) - 2$ の極値です。

$(\frac{π}{2}, 2)$ は極大値です

$(π, - 6)$ は極小値です

ステップ 21

三角関数 例

三角関数例