三角関数例

$\frac{{(2 + 2 i)}^{5} {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 1

二項定理を利用します。

$\frac{(2^{5} + 5 \cdot 2^{4} (2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2$ を $5$ 乗します。

$\frac{(32 + 5 \cdot 2^{4} (2 i) + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.2

指数を足して $2^{4}$ に $2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ を移動させます。

$\frac{(32 + 5 \cdot (2 \cdot 2^{4}) i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.2.2

$2$ に $2^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{(32 + 5 \cdot (2^{1} \cdot 2^{4}) i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(32 + 5 \cdot 2^{1 + 4} i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.2.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{(32 + 5 \cdot 2^{5} i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.3

$2$ を $5$ 乗します。

$\frac{(32 + 5 \cdot 32 i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.4

$5$ に $32$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i + 10 \cdot 2^{3} {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.5

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{(32 + 160 i + 10 \cdot 8 {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.6

$10$ に $8$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i + 80 {(2 i)}^{2} + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.7

積の法則を $2 i$ に当てはめます。

$\frac{(32 + 160 i + 80 (2^{2} i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.8

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{(32 + 160 i + 80 (4 i^{2}) + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.9

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{(32 + 160 i + 80 (4 \cdot - 1) + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.10

$80 (4 \cdot - 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.10.1

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i + 80 \cdot - 4 + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.10.2

$80$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 10 \cdot 2^{2} {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.11

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 10 \cdot 4 {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.12

$10$ に $4$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 {(2 i)}^{3} + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.13

積の法則を $2 i$ に当てはめます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (2^{3} i^{3}) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.14

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 i^{3}) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.15

$i^{2}$ を因数分解します。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.16

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.17

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (8 (- i)) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.18

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 + 40 (- 8 i) + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.19

$- 8$ に $40$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 5 \cdot 2 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.20

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 {(2 i)}^{4} + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.21

積の法則を $2 i$ に当てはめます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (2^{4} i^{4}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.22

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 i^{4}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.23

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.23.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 {(i^{2})}^{2}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.23.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 {(- 1)}^{2}) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.23.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 (16 \cdot 1) + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.24

$10 (16 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.24.1

$16$ に $1$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 10 \cdot 16 + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.24.2

$10$ に $16$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + {(2 i)}^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.25

積の法則を $2 i$ に当てはめます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 2^{5} i^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.26

$2$ を $5$ 乗します。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 i^{5}) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.27

$i^{4}$ を因数分解します。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 (i^{4} i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.28

$i^{4}$ を $1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.28.1

$i^{4}$ を ${(i^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 ({(i^{2})}^{2} i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.28.2

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 ({(- 1)}^{2} i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.28.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 (1 i)) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 2.29

$i$ に $1$ をかけます。

$\frac{(32 + 160 i - 320 - 320 i + 160 + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 3

$32$ から $320$ を引きます。

$\frac{(- 288 + 160 i - 320 i + 160 + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 4

$- 288$ と $160$ をたし算します。

$\frac{(- 128 + 160 i - 320 i + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 5

$160 i$ から $320 i$ を引きます。

$\frac{(- 128 - 160 i + 32 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 6

$- 160 i$ と $32 i$ をたし算します。

$\frac{(- 128 - 128 i) {(- 3 + 3 i)}^{3}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 7

二項定理を利用します。

$\frac{(- 128 - 128 i) ({(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 3 {(- 3)}^{2} (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 3 \cdot 9 (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.3

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 27 (3 i) + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.4

$3$ に $27$ をかけます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 3 \cdot - 3 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.5

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 {(3 i)}^{2} + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.6

積の法則を $3 i$ に当てはめます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 (3^{2} i^{2}) + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.7

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 (9 i^{2}) + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.8

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 (9 \cdot - 1) + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.9

$- 9 (9 \cdot - 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.9.1

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i - 9 \cdot - 9 + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.9.2

$- 9$ に $- 9$ をかけます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + {(3 i)}^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.10

積の法則を $3 i$ に当てはめます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 3^{3} i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.11

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 i^{3})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.12

$i^{2}$ を因数分解します。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 (i^{2} \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.13

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 (- 1 \cdot i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.14

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 + 27 (- i))}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 8.15

$- 1$ に $27$ をかけます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (- 27 + 81 i + 81 - 27 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 9

$- 27$ と $81$ をたし算します。

$\frac{(- 128 - 128 i) (54 + 81 i - 27 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 10

$81 i$ から $27 i$ を引きます。

$\frac{(- 128 - 128 i) (54 + 54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 11

分配法則（FOIL法）を使って $(- 128 - 128 i) (54 + 54 i)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 128 (54 + 54 i) - 128 i (54 + 54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 128 \cdot 54 - 128 (54 i) - 128 i (54 + 54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 128 \cdot 54 - 128 (54 i) - 128 i \cdot 54 - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.1

$- 128$ に $54$ をかけます。

$\frac{- 6912 - 128 (54 i) - 128 i \cdot 54 - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.1.2

$54$ に $- 128$ をかけます。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 128 i \cdot 54 - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.1.3

$54$ に $- 128$ をかけます。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 128 i (54 i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.1.4

$- 128 i (54 i)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1.4.1

$54$ に $- 128$ をかけます。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 i i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.1.4.2

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 (i^{1} i)}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.1.4.3

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 (i^{1} i^{1})}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.1.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 i^{1 + 1}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.1.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 i^{2}}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.1.5

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i - 6912 \cdot - 1}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.1.6

$- 6912$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 6912 - 6912 i - 6912 i + 6912}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.2

$- 6912$ と $6912$ をたし算します。

$\frac{0 - 6912 i - 6912 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.3

$0$ から $6912 i$ を引きます。

$\frac{- 6912 i - 6912 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 12.4

$- 6912 i$ から $6912 i$ を引きます。

$\frac{- 13824 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

ステップ 13

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{13824 i}{{(\sqrt{3} + i)}^{10}}$

三角関数 例

三角関数例