三角関数例

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) = \sqrt{2}$ , $[0, 2 π)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sqrt{2}$ を引きます。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

ステップ 2

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \sqrt{2} \cos (x) - \sqrt{2}$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

項を並べ替えます。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

ステップ 2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 2 \cos (x) \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 \cos (x) (2 \cos (x) + 1) - \sqrt{2} (2 \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 2.3

最大公約数 $2 \cos (x) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

ステップ 4

$2 \cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$2 \cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $2 \cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \cos (x) = - 1$

ステップ 4.2.2

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$2 \cos (x) - \sqrt{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$2 \cos (x) - \sqrt{2}$ が $0$ に等しいとします。

$2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $2 \cos (x) - \sqrt{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $\sqrt{2}$ を足します。

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$

ステップ 5.2.2

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2 \cos (x) = \sqrt{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.6

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 5.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 5.2.6.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 5.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $(2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - \sqrt{2}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

区間 $[0, 2 π)$ 内で値をつくる $n$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{4} + 2 π (0)$

ステップ 7.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1

$2 π (0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.2.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{π}{4} + 0 π$

ステップ 7.1.2.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{π}{4} + 0$

ステップ 7.1.2.2

$\frac{π}{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{4}$

ステップ 7.1.3

区間 $[0, 2 π)$ は $\frac{π}{4}$ を含みます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 7.2

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

ステップ 7.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2 π (0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 π}{3} + 0 π$

ステップ 7.2.2.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{2 π}{3} + 0$

ステップ 7.2.2.2

$\frac{2 π}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 7.2.3

区間 $[0, 2 π)$ は $\frac{2 π}{3}$ を含みます。

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.3

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{4 π}{3} + 2 π (0)$

ステップ 7.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$2 π (0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π}{3} + 0 π$

ステップ 7.3.2.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{4 π}{3} + 0$

ステップ 7.3.2.2

$\frac{4 π}{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 π}{3}$

ステップ 7.3.3

区間 $[0, 2 π)$ は $\frac{4 π}{3}$ を含みます。

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.4

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $[0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{7 π}{4} + 2 π (0)$

ステップ 7.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$2 π (0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{7 π}{4} + 0 π$

ステップ 7.4.2.1.2

$0$ に $π$ をかけます。

$\frac{7 π}{4} + 0$

ステップ 7.4.2.2

$\frac{7 π}{4}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{7 π}{4}$

ステップ 7.4.3

区間 $[0, 2 π)$ は $\frac{7 π}{4}$ を含みます。

$x = \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}, \frac{7 π}{4}$

三角関数 例

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