三角関数例

$\sin (\tan^{-1} (u) + \sin^{-1} (v))$

ステップ 1

角の和の公式を当てはめます。

$\sin (\tan^{-1} (u)) \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2

項を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

交点 $(1, u)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\tan^{-1} (u)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, u)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\tan^{-1} (u))$ は $\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ です。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.2

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ をかけます。

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.1.3.1

$\frac{u}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ をかけます。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3.2

$\sqrt{1 + u^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3.3

$\sqrt{1 + u^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3.6

${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ を $1 + u^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + u^{2}}$ を ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.3.6.5

簡約します。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \cos (\sin^{-1} (v)) + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.4

交点 $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, v)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\sin^{-1} (v)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - v^{2}}, v)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\sin^{-1} (v))$ は $\sqrt{1 - v^{2}}$ です。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1 - v^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.5

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{1^{2} - v^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = v$ です。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.7

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.7.1

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ と $\sqrt{(1 + v) (1 - v)}$ をまとめます。

$\frac{u \sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{(1 + v) (1 - v)}}{1 + u^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.7.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \cos (\tan^{-1} (u)) \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.8

交点 $(1, u)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\tan^{-1} (u)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, u)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\tan^{-1} (u))$ は $\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ です。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.9

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ をかけます。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.1.10.1

$\frac{1}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}}}$ をかけます。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{\sqrt{1 + u^{2}} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10.2

$\sqrt{1 + u^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} \sqrt{1 + u^{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10.3

$\sqrt{1 + u^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + u^{2}}}^{1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{1 + 1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10.6

${\sqrt{1 + u^{2}}}^{2}$ を $1 + u^{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + u^{2}}$ を ${(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{({(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.10.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{\frac{2}{2}}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{{(1 + u^{2})}^{1}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.10.6.5

簡約します。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} \sin (\sin^{-1} (v))$

ステップ 2.1.11

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}} v$

ステップ 2.1.12

$\frac{\sqrt{1 + u^{2}}}{1 + u^{2}}$ と $v$ をまとめます。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})}}{1 + u^{2}} + \frac{\sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}}$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{u \sqrt{(1 + v) (1 - v) (1 + u^{2})} + \sqrt{1 + u^{2}} v}{1 + u^{2}}$

三角関数 例

三角関数例