三角関数例

$x^{2} - 9 y^{2} = 900$

ステップ 1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$

ステップ 2

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ の各項を $- 9$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ の各項を $- 9$ で割ります。

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

ステップ 2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$900$ を $- 9$ で割ります。

$y^{2} = - 100 + \frac{- x^{2}}{- 9}$

ステップ 2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{2} = - 100 + \frac{x^{2}}{9}$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 4.2

$\frac{x^{2}}{3^{2}}$ を ${(\frac{x}{3})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 100 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$100$ を $10^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 10^{2} + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

$- 10^{2}$ と ${(\frac{x}{3})}^{2}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 10^{2}}$

ステップ 4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{x}{3}$ であり、 $b = 10$ です。

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10) (\frac{x}{3} - 10)}$

ステップ 4.5

$10$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

ステップ 4.6

$10$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

ステップ 4.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 10 \cdot 3}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

ステップ 4.8

$10$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

ステップ 4.9

$- 10$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}$

ステップ 4.10

$- 10$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}$

ステップ 4.11

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 10 \cdot 3}{3}}$

ステップ 4.12

$- 10$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 30}{3}}$

ステップ 4.13

$\frac{x + 30}{3}$ に $\frac{x - 30}{3}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{3 \cdot 3}}$

ステップ 4.14

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}}$

ステップ 4.15

$\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))$ に書き換えます。

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ステップ 4.15.1

$(x + 30) (x - 30)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{9}}$

ステップ 4.15.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}}$

ステップ 4.15.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))}$

ステップ 4.16

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(x + 30) (x - 30)}$

ステップ 4.17

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

ステップ 6

$\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$(x + 30) (x - 30) \geq 0$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 30 = 0$

$x - 30 = 0$

ステップ 7.2

$x + 30$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

$x + 30$ が $0$ に等しいとします。

$x + 30 = 0$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺から $30$ を引きます。

$x = - 30$

ステップ 7.3

$x - 30$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$x - 30$ が $0$ に等しいとします。

$x - 30 = 0$

ステップ 7.3.2

方程式の両辺に $30$ を足します。

$x = 30$

ステップ 7.4

最終解は $(x + 30) (x - 30) \geq 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 30, 30$

ステップ 7.5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 30$

$- 30 < x < 30$

$x > 30$

ステップ 7.6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.6.1

区間 $x < - 30$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.1.1

区間 $x < - 30$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 32$

ステップ 7.6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 32$ で置き換えます。

$((- 32) + 30) ((- 32) - 30) \geq 0$

ステップ 7.6.1.3

左辺 $124$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.6.2

区間 $- 30 < x < 30$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.2.1

区間 $- 30 < x < 30$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.6.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$((0) + 30) ((0) - 30) \geq 0$

ステップ 7.6.2.3

左辺 $- 900$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.6.3

区間 $x > 30$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.6.3.1

区間 $x > 30$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 32$

ステップ 7.6.3.2

$x$ を元の不等式の $32$ で置き換えます。

$((32) + 30) ((32) - 30) \geq 0$

ステップ 7.6.3.3

左辺 $124$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.6.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 30$ 真

$- 30 < x < 30$ 偽

$x > 30$ 真

$x < - 30$ 真

$- 30 < x < 30$ 偽

$x > 30$ 真

ステップ 7.7

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 30$ または $x \geq 30$

ステップ 8

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 30] \cup [30, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 30, x \geq 30}$

ステップ 9

値域はすべての有効な $y$ 値の集合です。グラフを利用して値域を求めます。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${y | y \in ℝ}$

ステップ 10

定義域と値域を判定します。

定義域： $(- \infty, - 30] \cup [30, \infty), {x | x \leq - 30, x \geq 30}$

値域： $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

ステップ 11

三角関数 例

三角関数例