三角関数例

$f (t) = \frac{2}{3} \cos (t)$

ステップ 1

関数の一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

$\frac{2}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\cos (t)]$

ステップ 1.2

$t$ に関する $\cos (t)$ の微分係数は $- \sin (t)$ です。

$\frac{2}{3} (- \sin (t))$

ステップ 1.3

$\frac{2}{3}$ と $\sin (t)$ をまとめます。

$- \frac{2 \sin (t)}{3}$

ステップ 2

関数の二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

$- \frac{2}{3}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- \frac{2 \sin (t)}{3}$ の微分係数は $- \frac{2}{3} \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ です。

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d t} \sin (t)$

ステップ 2.2

$t$ に関する $\sin (t)$ の微分係数は $\cos (t)$ です。

$f'' (t) = - \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$\cos (t)$ と $\frac{2}{3}$ をまとめます。

$f'' (t) = - \frac{\cos (t) \cdot 2}{3}$

ステップ 2.3.2

$2$ を $\cos (t)$ の左に移動させます。

$f'' (t) = - \frac{2 \cos (t)}{3}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、式を解いて関数の極大値と最小値を求めます。

$- \frac{2 \sin (t)}{3} = 0$

ステップ 4

分子を0に等しくします。

$2 \sin (t) = 0$

ステップ 5

$t$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

$2 \sin (t) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2 \sin (t) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (t)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 5.1.2.1.2

$\sin (t)$ を $1$ で割ります。

$\sin (t) = \frac{0}{2}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$\sin (t) = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $t$ を取り出します。

$t = \arcsin (0)$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$t = 0$

ステップ 5.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$t = π - 0$

ステップ 5.5

$π$ から $0$ を引きます。

$t = π$

ステップ 5.6

方程式 $t = 0$ に対する解です。

$t = 0, π$

ステップ 6

$t = 0$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2 \cos (0)}{3}$

ステップ 7

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 7.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{2 \cdot 1}{3}$

ステップ 7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2}{3}$

ステップ 8

$t = 0$ は二次導関数の値が負であるため、極大値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = 0$ は極大値です

ステップ 9

$t = 0$ のときy値を求めます。

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ステップ 9.1

式の変数 $t$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot \cos (0)$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (0) = \frac{2}{3} \cdot 1$

ステップ 9.2.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$f (0) = \frac{2}{3}$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $\frac{2}{3}$ です。

$y = \frac{2}{3}$

ステップ 10

$t = π$ で二次導関数の値を求めます。二次導関数が正のとき、この値が極小値です。二次導関数が負の時、この値が極大値です。

$- \frac{2 \cos (π)}{3}$

ステップ 11

二次導関数の値を求めます。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{2 (- \cos (0))}{3}$

ステップ 11.1.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$- \frac{2 (- 1 \cdot 1)}{3}$

ステップ 11.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- \frac{2 \cdot - 1}{3}$

ステップ 11.2

式を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{- 2}{3}$

ステップ 11.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{2}{3}$

ステップ 11.3

$- - \frac{2}{3}$ を掛けます。

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ステップ 11.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (\frac{2}{3})$

ステップ 11.3.2

$\frac{2}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2}{3}$

ステップ 12

$t = π$ は二次導関数の値が正であるため、極小値です。これは二次導関数テストと呼ばれます。

$t = π$ は極小値です

ステップ 13

$t = π$ のときy値を求めます。

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ステップ 13.1

式の変数 $t$ を $π$ で置換えます。

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot \cos (π)$

ステップ 13.2

結果を簡約します。

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ステップ 13.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- \cos (0))$

ステップ 13.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot (- 1 \cdot 1)$

ステップ 13.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (π) = \frac{2}{3} \cdot - 1$

ステップ 13.2.4

$\frac{2}{3} \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 13.2.4.1

$\frac{2}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$f (π) = \frac{2 \cdot - 1}{3}$

ステップ 13.2.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (π) = \frac{- 2}{3}$

ステップ 13.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (π) = - \frac{2}{3}$

ステップ 13.2.6

最終的な答えは $- \frac{2}{3}$ です。

$y = - \frac{2}{3}$

ステップ 14

$f (t) = \frac{2}{3} \cdot \cos (t)$ の極値です。

$(0, \frac{2}{3})$ は極大値です

$(π, - \frac{2}{3})$ は極小値です

ステップ 15

三角関数 例

三角関数例