三角関数例

$y = \frac{1}{2} \arccos (π x) - 3$

ステップ 1

変数を入れ替えます。

$x = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3$

ステップ 2

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$ として書き換えます。

$\frac{1}{2} \cdot \arccos (π y) - 3 = x$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\frac{1}{2}$ と $\arccos (π y)$ をまとめます。

$\frac{\arccos (π y)}{2} - 3 = x$

ステップ 2.3

方程式の両辺に $3$ を足します。

$\frac{\arccos (π y)}{2} = x + 3$

ステップ 2.4

両辺に $2$ を掛けます。

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

ステップ 2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\arccos (π y)}{2} \cdot 2 = (x + 3) \cdot 2$

ステップ 2.5.1.1.2

式を書き換えます。

$\arccos (π y) = (x + 3) \cdot 2$

ステップ 2.5.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

$(x + 3) \cdot 2$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\arccos (π y) = x \cdot 2 + 3 \cdot 2$

ステップ 2.5.2.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1.2.1

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\arccos (π y) = 2 \cdot x + 3 \cdot 2$

ステップ 2.5.2.1.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\arccos (π y) = 2 x + 6$

ステップ 2.6

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、逆余弦の中から $y$ を取り出します。

$π y = \cos (2 x + 6)$

ステップ 2.6.2

$π y = \cos (2 x + 6)$ の各項を $π$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.1

$π y = \cos (2 x + 6)$ の各項を $π$ で割ります。

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

ステップ 2.6.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{π y}{π} = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

ステップ 2.6.2.2.1.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

ステップ 3

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

ステップ 4

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ が $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 4.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3)$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) + 6)}{π}$

ステップ 4.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.1

$\frac{1}{2}$ と $\arccos (π x)$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2} - 3) + 6)}{π}$

ステップ 4.2.3.1.2

分配則を当てはめます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

ステップ 4.2.3.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1.3.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (2 (\frac{\arccos (π x)}{2}) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

ステップ 4.2.3.1.3.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 2 \cdot - 3 + 6)}{π}$

ステップ 4.2.3.1.4

$2$ に $- 3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) - 6 + 6)}{π}$

ステップ 4.2.3.2

$\arccos (π x) - 6 + 6$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$- 6$ と $6$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x) + 0)}{π}$

ステップ 4.2.3.2.2

$\arccos (π x)$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{\cos (\arccos (π x))}{π}$

ステップ 4.2.3.3

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

ステップ 4.2.4

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = \frac{π x}{π}$

ステップ 4.2.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3) = x$

ステップ 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 4.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})$ の値を求めます。

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

ステップ 4.3.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$π$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π (\frac{\cos (2 x + 6)}{π})) - 3$

ステップ 4.3.3.1.2

式を書き換えます。

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (\cos (2 x + 6)) - 3$

ステップ 4.3.3.2

$\frac{1}{2}$ と $\arccos (\cos (2 x + 6))$ をまとめます。

$f (\frac{\cos (2 x + 6)}{π}) = \frac{\arccos (\cos (2 x + 6))}{2} - 3$

ステップ 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$ は $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \arccos (π x) - 3$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{\cos (2 x + 6)}{π}$

三角関数 例

三角関数例