三角関数例

$\sin (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ , $(0, 2 π)$

ステップ 1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2

$2 \cos (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$2 \cos (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

$2 \cos (x)$ を $- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.3

$2 \cos (x)$ を $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

ステップ 4

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\sin (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\sin (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) - 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\sin (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\sin (x) = 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.5

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.5.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.5.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 5.2.5.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

区間 $(0, 2 π)$ 内で値をつくる $n$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

$0$ を $n$ に代入して簡約し、解が $(0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

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ステップ 8.1.1

$0$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{2} + π (0)$

ステップ 8.1.2

簡約します。

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ステップ 8.1.2.1

$π$ に $0$ をかけます。

$\frac{π}{2} + 0$

ステップ 8.1.2.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{π}{2}$

ステップ 8.1.3

区間 $(0, 2 π)$ は $\frac{π}{2}$ を含みます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 8.2

$1$ を $n$ に代入して簡約し、解が $(0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

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ステップ 8.2.1

$1$ を $n$ に代入します。

$\frac{π}{2} + π (1)$

ステップ 8.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$π$ に $1$ をかけます。

$\frac{π}{2} + π$

ステップ 8.2.2.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 8.2.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 8.2.2.3.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

ステップ 8.2.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

ステップ 8.2.2.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.2.4.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

ステップ 8.2.2.4.2

$π$ と $2 π$ をたし算します。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 8.2.3

区間 $(0, 2 π)$ は $\frac{3 π}{2}$ を含みます。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

三角関数 例

三角関数例