三角関数例

\sin (2 x) - 2 \cos (x) = 0

$\sin (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ ,

(0, 2 π)

$(0, 2 π)$

ステップ 1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) = 0

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2

2 \cos (x)

$2 \cos (x)$ を

2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \cos (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

2 \cos (x)

$2 \cos (x)$ を

2 \sin (x) \cos (x)

$2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) = 0

$2 \cos (x) \sin (x) - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

2 \cos (x)

$2 \cos (x)$ を

- 2 \cos (x)

$- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 = 0

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.3

2 \cos (x)

$2 \cos (x)$ を

2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

\sin (x) - 1 = 0

$\sin (x) - 1 = 0$

ステップ 4

\cos (x)

$\cos (x)$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

\cos (x)

$\cos (x)$ が

0

$0$ に等しいとします。

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

ステップ 4.2

x

$x$ について

\cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

x

$x$ を取り出します。

x = \arccos (0)

$x = \arccos (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

\arccos (0)

$\arccos (0)$ の厳密値は

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ です。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

2 π

$2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

2 π

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.2.1

2 π

$2 π$ と

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.3.1

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.2.4.3.2

4 π

$4 π$ から

π

$π$ を引きます。

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.5

\cos (x)

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

関数の期間は

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

2 π

$2 π$ を

1

$1$ で割ります。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

ステップ 4.2.6

\cos (x)

$\cos (x)$ 関数の周期が

2 π

$2 π$ なので、両方向で

2 π

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 5

\sin (x) - 1

$\sin (x) - 1$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

\sin (x) - 1

$\sin (x) - 1$ が

0

$0$ に等しいとします。

\sin (x) - 1 = 0

$\sin (x) - 1 = 0$

ステップ 5.2

x

$x$ について

\sin (x) - 1 = 0

$\sin (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺に

1

$1$ を足します。

\sin (x) = 1

$\sin (x) = 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から

x

$x$ を取り出します。

x = \arcsin (1)

$x = \arcsin (1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

\arcsin (1)

$\arcsin (1)$ の厳密値は

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ です。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、

π

$π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

x = π - \frac{π}{2}

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.5

π - \frac{π}{2}

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

π

$π$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.5.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.2.1

π

$π$ と

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.3.1

2

$2$ を

π

$π$ の左に移動させます。

x = \frac{2 \cdot π - π}{2}

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 5.2.5.3.2

2 π

$2 π$ から

π

$π$ を引きます。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.6

\sin (x)

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

関数の期間は

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の

b

$b$ を

1

$1$ で置き換えます。

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

0

$0$ と

1

$1$ の間の距離は

1

$1$ です。

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

2 π

$2 π$ を

1

$1$ で割ります。

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

ステップ 5.2.7

\sin (x)

$\sin (x)$ 関数の周期が

2 π

$2 π$ なので、両方向で

2 π

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 6

最終解は

2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0

$2 \cos (x) (\sin (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 7

答えをまとめます。

x = \frac{π}{2} + π n

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数

n

$n$

ステップ 8

区間

(0, 2 π)

$(0, 2 π)$ 内で値をつくる

n

$n$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

0

$0$ を

n

$n$ に代入して簡約し、解が

(0, 2 π)

$(0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

0

$0$ を

n

$n$ に代入します。

\frac{π}{2} + π (0)

$\frac{π}{2} + π (0)$

ステップ 8.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.2.1

π

$π$ に

0

$0$ をかけます。

\frac{π}{2} + 0

$\frac{π}{2} + 0$

ステップ 8.1.2.2

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ と

0

$0$ をたし算します。

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$

ステップ 8.1.3

区間

(0, 2 π)

$(0, 2 π)$ は

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ を含みます。

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 8.2

1

$1$ を

n

$n$ に代入して簡約し、解が

(0, 2 π)

$(0, 2 π)$ に含まれるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

1

$1$ を

n

$n$ に代入します。

\frac{π}{2} + π (1)

$\frac{π}{2} + π (1)$

ステップ 8.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

π

$π$ に

1

$1$ をかけます。

\frac{π}{2} + π

$\frac{π}{2} + π$

ステップ 8.2.2.2

π

$π$ を公分母のある分数として書くために、

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}

$\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 8.2.2.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.3.1

π

$π$ と

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}

$\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}$

ステップ 8.2.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

\frac{π + π \cdot 2}{2}

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

\frac{π + π \cdot 2}{2}

$\frac{π + π \cdot 2}{2}$

ステップ 8.2.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.4.1

2

$2$ を

π

$π$ の左に移動させます。

\frac{π + 2 \cdot π}{2}

$\frac{π + 2 \cdot π}{2}$

ステップ 8.2.2.4.2

π

$π$ と

2 π

$2 π$ をたし算します。

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 8.2.3

区間

(0, 2 π)

$(0, 2 π)$ は

\frac{3 π}{2}

$\frac{3 π}{2}$ を含みます。

x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

三角関数 例

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