三角関数例

$2 \tan^{2} (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \tan (x)$ とします。 $u$ を $\tan (x)$ に代入します。

$2 u^{2} - u - 1 = 0$

ステップ 1.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.1.1

$- 1$ を $- u$ で因数分解します。

$2 u^{2} - (u) - 1 = 0$

ステップ 1.2.1.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$2 u^{2} + (1 - 2) u - 1 = 0$

ステップ 1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1 = 0$

ステップ 1.2.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$2 u^{2} + u - 2 u - 1 = 0$

ステップ 1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 u^{2} + u) - 2 u - 1 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$u (2 u + 1) - (2 u + 1) = 0$

ステップ 1.2.3

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 u + 1) (u - 1) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$(2 \tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \tan (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

ステップ 3

$2 \tan (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$2 \tan (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \tan (x) + 1 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $2 \tan (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \tan (x) = - 1$

ステップ 3.2.2

$2 \tan (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$2 \tan (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \tan (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\tan (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \frac{1}{2})$

ステップ 3.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.4.1

$\arctan (- \frac{1}{2})$ の値を求めます。

$x = - 0.4636476$

ステップ 3.2.5

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - 0.4636476 - (3.14159265)$

ステップ 3.2.6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.2.6.1

$2 π$ に $- 0.4636476 - (3.14159265)$ をたし算します。

$x = - 0.4636476 - (3.14159265) + 2 π$

ステップ 3.2.6.2

$2.67794504$ の結果の角度は正で $- 0.4636476 - (3.14159265)$ と隣接します。

$x = 2.67794504$

ステップ 3.2.7

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.2.7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.7.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.8

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 3.2.8.1

$π$ を $- 0.4636476$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.4636476 + π$

ステップ 3.2.8.2

10進法の概算で置き換えます。

$3.14159265 - 0.4636476$

ステップ 3.2.8.3

$3.14159265$ から $0.4636476$ を引きます。

$2.67794504$

ステップ 3.2.8.4

新しい角をリストします。

$x = 2.67794504$

ステップ 3.2.9

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2.67794504 + π n, 2.67794504 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\tan (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\tan (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) - 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\tan (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\tan (x) = 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.5

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.5.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 4.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.5.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 4.2.5.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 4.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(2 \tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2.67794504 + π n, 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

答えをまとめます。

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ステップ 6.1

$2.67794504 + π n$ と $2.67794504 + π n$ を $2.67794504 + π n$ にまとめます。

$x = 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + π n$ を $\frac{π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = 2.67794504 + π n, \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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