三角関数例

v ⎛ ⎜ ⎝ \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} ⎞ ⎟ ⎠

$v (\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}})$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

v \frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}

$v \frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 1.2

公分母の分子をまとめます。

v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}

$v \frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

ステップ 3

分子に分母の逆数を掛けます。

v (\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}})

$v (\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}})$

ステップ 4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$v (\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}})$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}})$

ステップ 5

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$v ((2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}))$

ステップ 6

項を簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})})$

ステップ 6.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}})$

ステップ 6.3

簡約します。

$v ((2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

ステップ 6.4

分配則を当てはめます。

$v (2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

ステップ 6.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.5.1

共通因数を約分します。

$v (2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

ステップ 6.5.2

式を書き換えます。

$v (2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2})$

ステップ 6.6

$\sqrt{2}$ と

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2})$

ステップ 7

各項を簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.2

$2$ を

$\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2})$

ステップ 7.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2})$

ステップ 7.4

各項を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$2$ に

$2$ をかけます。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2})$

ステップ 7.4.2

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2})$

ステップ 7.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2})$

ステップ 7.5

$2 \sqrt{2} + 2$ と

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.1

$2$ を

$2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2})$

ステップ 7.5.2

$2$ を

$2$ で因数分解します。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2})$

ステップ 7.5.3

$2$ を

$2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2})$

ステップ 7.5.4

共通因数を約分します。

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ステップ 7.5.4.1

$2$ を

$2$ で因数分解します。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)})$

ステップ 7.5.4.2

共通因数を約分します。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1})$

ステップ 7.5.4.3

式を書き換えます。

$v (2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1})$

ステップ 7.5.4.4

$\sqrt{2} + 1$ を

$1$ で割ります。

$v (2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1)$

ステップ 8

項を簡約します。

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ステップ 8.1

$2$ と

$1$ をたし算します。

$v (3 + \sqrt{2} + \sqrt{2})$

ステップ 8.2

$\sqrt{2}$ と

$\sqrt{2}$ をたし算します。

$v (3 + 2 \sqrt{2})$

ステップ 8.3

分配則を当てはめます。

$v \cdot 3 + v (2 \sqrt{2})$

ステップ 8.4

$3$ を

$v$ の左に移動させます。

$3 \cdot v + v (2 \sqrt{2})$

ステップ 9

$2$ を

$v$ の左に移動させます。

$3 v + 2 v \sqrt{2}$

三角関数 例

三角関数例