三角関数例

$(9, \frac{7 π}{6})$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(9, \frac{7 π}{6})$ を結ぶ線との間の $\sin (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(9, 0)$ 、 $(9, \frac{7 π}{6})$ で三角形を描きます。

反対： $\frac{7 π}{6}$

隣接： $9$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

$9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{81 + {(\frac{7 π}{6})}^{2}}$

ステップ 2.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $\frac{7 π}{6}$ に当てはめます。

$\sqrt{81 + \frac{{(7 π)}^{2}}{6^{2}}}$

ステップ 2.2.2

積の法則を $7 π$ に当てはめます。

$\sqrt{81 + \frac{7^{2} π^{2}}{6^{2}}}$

ステップ 2.3

$7$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{81 + \frac{49 π^{2}}{6^{2}}}$

ステップ 2.4

$6$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{81 + \frac{49 π^{2}}{36}}$

ステップ 2.5

$81$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{36}{36}$ を掛けます。

$\sqrt{81 \cdot \frac{36}{36} + \frac{49 π^{2}}{36}}$

ステップ 2.6

$81$ と $\frac{36}{36}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{81 \cdot 36}{36} + \frac{49 π^{2}}{36}}$

ステップ 2.7

式を簡約します。

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ステップ 2.7.1

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{81 \cdot 36 + 49 π^{2}}{36}}$

ステップ 2.7.2

$81$ に $36$ をかけます。

$\sqrt{\frac{2916 + 49 π^{2}}{36}}$

ステップ 2.8

$\sqrt{\frac{2916 + 49 π^{2}}{36}}$ を $\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{36}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{36}}$

ステップ 2.9

分母を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

ステップ 2.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{6}$

ステップ 3

$\sin (θ) = \frac{反対}{斜辺}$ ゆえに $\sin (θ) = \frac{\frac{7 π}{6}}{\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{6}}$ 。

$\frac{\frac{7 π}{6}}{\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{6}}$

ステップ 4

$\sin (θ)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (θ) = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{6}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

ステップ 4.2

まとめる。

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 6}{6 \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

ステップ 4.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = \frac{7 π \cdot 6}{6 \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

ステップ 4.4

$\frac{7 π}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{7 π}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

ステップ 4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\frac{7 π}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}} \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

ステップ 4.5.2

$\sqrt{2916 + 49 π^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}} \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

ステップ 4.5.3

$\sqrt{2916 + 49 π^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{\sqrt{2916 + 49 π^{2}} \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}$

ステップ 4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}^{2}}$

ステップ 4.5.6

${\sqrt{2916 + 49 π^{2}}}^{2}$ を $2916 + 49 π^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2916 + 49 π^{2}}$ を ${(2916 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{({(2916 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{(2916 + 49 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{(2916 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{{(2916 + 49 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{2916 + 49 π^{2}}$

ステップ 4.5.6.5

簡約します。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{2916 + 49 π^{2}}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\sin (θ) = \frac{7 π \sqrt{2916 + 49 π^{2}}}{2916 + 49 π^{2}} \approx 0.37716668$

三角関数 例

三角関数例