三角関数例

$(\sqrt{3}, \sqrt{5})$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ を結ぶ線との間の $\cos (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(\sqrt{3}, 0)$ 、 $(\sqrt{3}, \sqrt{5})$ で三角形を描きます。

反対： $\sqrt{5}$

隣接： $\sqrt{3}$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 2.1.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{3^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{3^{1} + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 2.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{3 + {(\sqrt{5})}^{2}}$

ステップ 2.2

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{3 + {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{3 + 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{3 + 5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{3 + 5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{3 + 5^{1}}$

ステップ 2.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{3 + 5}$

ステップ 2.3

$3$ と $5$ をたし算します。

$\sqrt{8}$

ステップ 2.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\sqrt{4 (2)}$

ステップ 2.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 2.5

累乗根の下から項を取り出します。

$2 \sqrt{2}$

ステップ 3

$\cos (θ) = \frac{隣接}{斜辺}$ ゆえに $\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

ステップ 4

$\cos (θ)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 4.2

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 4.2.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 4.2.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 4.2.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

ステップ 4.2.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.2.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 4.2.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.7.4.2

式を書き換えます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2.7.5

指数を求めます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{6}}{4} \approx 0.61237243$

三角関数 例

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