三角関数例

$(4, \frac{π}{2})$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(4, \frac{π}{2})$ を結ぶ線との間の $\sin (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(4, 0)$ 、 $(4, \frac{π}{2})$ で三角形を描きます。

反対： $\frac{π}{2}$

隣接： $4$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16 + {(\frac{π}{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{π}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{16 + \frac{π^{2}}{2^{2}}}$

ステップ 2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{16 + \frac{π^{2}}{4}}$

ステップ 2.4

$16$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{16 \cdot \frac{4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}$

ステップ 2.5

$16$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{16 \cdot 4}{4} + \frac{π^{2}}{4}}$

ステップ 2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.6.1

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{16 \cdot 4 + π^{2}}{4}}$

ステップ 2.6.2

$16$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{64 + π^{2}}{4}}$

ステップ 2.7

$\sqrt{\frac{64 + π^{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.8

分母を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}$

ステップ 3

$\sin (θ) = \frac{反対}{斜辺}$ ゆえに $\sin (θ) = \frac{\frac{π}{2}}{\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}}$ 。

$\frac{\frac{π}{2}}{\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{2}}$

ステップ 4

$\sin (θ)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (θ) = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

ステップ 4.2

まとめる。

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 2}{2 \sqrt{64 + π^{2}}}$

ステップ 4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = \frac{π \cdot 2}{2 \sqrt{64 + π^{2}}}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

ステップ 4.4

$\frac{π}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{π}{\sqrt{64 + π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$

ステップ 4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\frac{π}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}}}$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

ステップ 4.5.2

$\sqrt{64 + π^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

ステップ 4.5.3

$\sqrt{64 + π^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{\sqrt{64 + π^{2}} \sqrt{64 + π^{2}}}$

ステップ 4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{\sqrt{64 + π^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{\sqrt{64 + π^{2}}}^{2}}$

ステップ 4.5.6

${\sqrt{64 + π^{2}}}^{2}$ を $64 + π^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{64 + π^{2}}$ を ${(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{({(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{{(64 + π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.5.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

ステップ 4.5.6.5

簡約します。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\sin (θ) = \frac{π \sqrt{64 + π^{2}}}{64 + π^{2}} \approx 0.36552491$

三角関数 例

三角関数例