三角関数例

$(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$ を結ぶ線との間の $\sin (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(\frac{1}{2}, 0)$ 、 $(\frac{1}{2}, \frac{4}{9})$ で三角形を描きます。

反対： $\frac{4}{9}$

隣接： $\frac{1}{2}$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

ステップ 2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

ステップ 2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{4}{9})}^{2}}$

ステップ 2.4

積の法則を $\frac{4}{9}$ に当てはめます。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{4^{2}}{9^{2}}}$

ステップ 2.5

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{9^{2}}}$

ステップ 2.6

$9$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{16}{81}}$

ステップ 2.7

$\frac{1}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{81}{81}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{81}{81} + \frac{16}{81}}$

ステップ 2.8

$\frac{16}{81}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{81}{81} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 2.9

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $324$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.9.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{81}{81}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81}{4 \cdot 81} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 2.9.2

$4$ に $81$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16}{81} \cdot \frac{4}{4}}$

ステップ 2.9.3

$\frac{16}{81}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16 \cdot 4}{81 \cdot 4}}$

ステップ 2.9.4

$81$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81}{324} + \frac{16 \cdot 4}{324}}$

ステップ 2.10

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{81 + 16 \cdot 4}{324}}$

ステップ 2.11

分子を簡約します。

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ステップ 2.11.1

$16$ に $4$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81 + 64}{324}}$

ステップ 2.11.2

$81$ と $64$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{145}{324}}$

ステップ 2.12

$\sqrt{\frac{145}{324}}$ を $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{324}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{324}}$

ステップ 2.13

分母を簡約します。

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ステップ 2.13.1

$324$ を $18^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{18^{2}}}$

ステップ 2.13.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{145}}{18}$

ステップ 3

$\sin (θ) = \frac{反対}{斜辺}$ ゆえに $\sin (θ) = \frac{\frac{4}{9}}{\frac{\sqrt{145}}{18}}$ 。

$\frac{\frac{4}{9}}{\frac{\sqrt{145}}{18}}$

ステップ 4

$\sin (θ)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{18}{\sqrt{145}}$

ステップ 4.2

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$9$ を $18$ で因数分解します。

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9 (2)}{\sqrt{145}}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = \frac{4}{9} \cdot \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{145}}$

ステップ 4.2.3

式を書き換えます。

$\sin (θ) = 4 (\frac{2}{\sqrt{145}})$

ステップ 4.3

$4$ と $\frac{2}{\sqrt{145}}$ をまとめます。

$\sin (θ) = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{145}}$

ステップ 4.4

$4$ に $2$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{145}}$

ステップ 4.5

$\frac{8}{\sqrt{145}}$ に $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{8}{\sqrt{145}} \cdot \frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$

ステップ 4.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.6.1

$\frac{8}{\sqrt{145}}$ に $\frac{\sqrt{145}}{\sqrt{145}}$ をかけます。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

ステップ 4.6.2

$\sqrt{145}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

ステップ 4.6.3

$\sqrt{145}$ を $1$ 乗します。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{\sqrt{145} \sqrt{145}}$

ステップ 4.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{\sqrt{145}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{\sqrt{145}}^{2}}$

ステップ 4.6.6

${\sqrt{145}}^{2}$ を $145$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{145}$ を $145^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{{(145^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.6.4.2

式を書き換えます。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145}$

ステップ 4.6.6.5

指数を求めます。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\sin (θ) = \frac{8 \sqrt{145}}{145} \approx 0.66436383$

三角関数 例

三角関数例