三角関数例

$b = 8$ , $c = 10$ , $B = 30$

ステップ 1

正弦の法則では曖昧な角の結果が出ます。これは、方程式を正しく解く $2$ 角が存在することを意味します。1番目の三角形について、1番目に可能な角の値を使用します。

1番目の三角形を解きます。

ステップ 2

正弦の法則は、三角形の辺と角の比例関係に基づくものです。この法則は、直角三角形ではない三角形の角について、三角形の各角は角の大きさと正弦値の比率が同じであることを述べています。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 3

既知数を正弦の法則に代入し $C$ を求めます。

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 4

$C$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式の両辺に $10$ を掛けます。

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 4.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 4.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$10 \frac{\sin (30)}{8}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.2.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.2.2.1.1.4

式を書き換えます。

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

ステップ 4.2.2.1.2

$5$ と $\frac{\sin (30)}{4}$ をまとめます。

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

ステップ 4.2.2.1.3

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

ステップ 4.2.2.1.4

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

ステップ 4.2.2.1.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 4.2.2.1.6

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.6.1

$\frac{5}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.2.2.1.6.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

ステップ 4.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $C$ を取り出します。

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

ステップ 4.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\arcsin (\frac{5}{8})$ の値を求めます。

$C = 38.68218745$

ステップ 4.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$C = 180 - 38.68218745$

ステップ 4.6

$180$ から $38.68218745$ を引きます。

$C = 141.31781254$

ステップ 4.7

方程式 $C = 38.68218745$ に対する解です。

$C = 38.68218745, 141.31781254$

ステップ 5

三角形のすべての角の和は $180$ 度です。

$A + 38.68218745 + 30 = 180$

ステップ 6

$A$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$38.68218745$ と $30$ をたし算します。

$A + 68.68218745 = 180$

ステップ 6.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $68.68218745$ を引きます。

$A = 180 - 68.68218745$

ステップ 6.2.2

$180$ から $68.68218745$ を引きます。

$A = 111.31781254$

ステップ 7

他の2つの辺と含まれる角から、余弦の法則を利用して三角形の未知の辺を求めます。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

ステップ 8

方程式を解きます。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

ステップ 9

既知数を方程式に代入します。

$a = \sqrt{{(8)}^{2} + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 10 \cos (111.31781254)}$

ステップ 10

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$8$ を $2$ 乗します。

$a = \sqrt{64 + {(10)}^{2} - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

ステップ 10.2

$10$ を $2$ 乗します。

$a = \sqrt{64 + 100 - 2 \cdot 8 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

ステップ 10.3

$- 2 \cdot 8 \cdot 10$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$- 2$ に $8$ をかけます。

$a = \sqrt{64 + 100 - 16 \cdot (10 \cos (111.31781254))}$

ステップ 10.3.2

$- 16$ に $10$ をかけます。

$a = \sqrt{64 + 100 - 160 \cos (111.31781254)}$

ステップ 10.4

$64$ と $100$ をたし算します。

$a = \sqrt{164 - 160 \cos (111.31781254)}$

ステップ 10.5

$164 - 160 \cos (111.31781254)$ を $2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.5.1

$4$ を $164$ で因数分解します。

$a = \sqrt{4 (41) - 160 \cos (111.31781254)}$

ステップ 10.5.2

$4$ を $- 160 \cos (111.31781254)$ で因数分解します。

$a = \sqrt{4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))}$

ステップ 10.5.3

$4$ を $4 (41) + 4 (- 40 \cos (111.31781254))$ で因数分解します。

$a = \sqrt{4 (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

ステップ 10.5.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$a = \sqrt{2^{2} (41 - 40 \cos (111.31781254))}$

ステップ 10.6

累乗根の下から項を取り出します。

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

ステップ 11

2番目の三角形については、2番目に可能な角の値を利用します。

2番目の三角形を解きます。

ステップ 12

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 13

既知数を正弦の法則に代入し $C$ を求めます。

$\frac{\sin (C)}{10} = \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 14

$C$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

方程式の両辺に $10$ を掛けます。

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 14.2

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$10 \frac{\sin (C)}{10} = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 14.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\sin (C) = 10 \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 14.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1

$10 \frac{\sin (30)}{8}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1.1.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\sin (C) = 2 (5) \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 14.2.2.1.1.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

ステップ 14.2.2.1.1.3

共通因数を約分します。

$\sin (C) = 2 \cdot 5 \frac{\sin (30)}{2 \cdot 4}$

ステップ 14.2.2.1.1.4

式を書き換えます。

$\sin (C) = 5 \frac{\sin (30)}{4}$

ステップ 14.2.2.1.2

$5$ と $\frac{\sin (30)}{4}$ をまとめます。

$\sin (C) = \frac{5 \sin (30)}{4}$

ステップ 14.2.2.1.3

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\sin (C) = \frac{5 (\frac{1}{2})}{4}$

ステップ 14.2.2.1.4

$5$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\sin (C) = \frac{\frac{5}{2}}{4}$

ステップ 14.2.2.1.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (C) = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 14.2.2.1.6

$\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.2.1.6.1

$\frac{5}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$\sin (C) = \frac{5}{2 \cdot 4}$

ステップ 14.2.2.1.6.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\sin (C) = \frac{5}{8}$

ステップ 14.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $C$ を取り出します。

$C = \arcsin (\frac{5}{8})$

ステップ 14.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$\arcsin (\frac{5}{8})$ の値を求めます。

$C = 38.68218745$

ステップ 14.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$C = 180 - 38.68218745$

ステップ 14.6

$180$ から $38.68218745$ を引きます。

$C = 141.31781254$

ステップ 14.7

方程式 $C = 38.68218745$ に対する解です。

$C = 38.68218745, 141.31781254$

ステップ 15

三角形のすべての角の和は $180$ 度です。

$A + 141.31781254 + 30 = 180$

ステップ 16

$A$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$141.31781254$ と $30$ をたし算します。

$A + 171.31781254 = 180$

ステップ 16.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.2.1

方程式の両辺から $171.31781254$ を引きます。

$A = 180 - 171.31781254$

ステップ 16.2.2

$180$ から $171.31781254$ を引きます。

$A = 8.68218745$

ステップ 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 18

既知数を正弦の法則に代入し $a$ を求めます。

$\frac{\sin (8.68218745)}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 19

$a$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

各項を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

$\sin (8.68218745)$ の値を求めます。

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\sin (30)}{8}$

ステップ 19.1.2

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{\frac{1}{2}}{8}$

ステップ 19.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$

ステップ 19.1.4

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{8}$ をかけます。

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{2 \cdot 8}$

ステップ 19.1.4.2

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$

ステップ 19.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$a, 16$

ステップ 19.2.2

Since $a, 16$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 16$ then find LCM for the variable part $a^{1}$ .

ステップ 19.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 19.2.4

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 19.2.5

$16$ の素因数は $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.5.1

$16$ には $2$ と $8$ の因数があります。

$2 \cdot 8$

ステップ 19.2.5.2

$8$ には $2$ と $4$ の因数があります。

$2 \cdot 2 \cdot 4$

ステップ 19.2.5.3

$4$ には $2$ と $2$ の因数があります。

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$

ステップ 19.2.6

$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \cdot 2 \cdot 2$

ステップ 19.2.6.2

$4$ に $2$ をかけます。

$8 \cdot 2$

ステップ 19.2.6.3

$8$ に $2$ をかけます。

$16$

ステップ 19.2.7

$a^{1}$ の因数は $a$ そのものです。

$a^{1} = a$

$a$ は $1$ 回発生します。

ステップ 19.2.8

$a^{1}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$a$

ステップ 19.2.9

$a, 16$ の最小公倍数は数値部分 $16$ に変数部分を掛けたものです。

$16 a$

ステップ 19.3

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ の各項に $16 a$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.1

$\frac{0.1509535}{a} = \frac{1}{16}$ の各項に $16 a$ を掛けます。

$\frac{0.1509535}{a} (16 a) = \frac{1}{16} (16 a)$

ステップ 19.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$16 \frac{0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

ステップ 19.3.2.2

$16 \frac{0.1509535}{a}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.2.2.1

$16$ と $\frac{0.1509535}{a}$ をまとめます。

$\frac{16 \cdot 0.1509535}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

ステップ 19.3.2.2.2

$16$ に $0.1509535$ をかけます。

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

ステップ 19.3.2.3

$a$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{2.41525603}{a} a = \frac{1}{16} (16 a)$

ステップ 19.3.2.3.2

式を書き換えます。

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

ステップ 19.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.3.1

$16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.3.3.1.1

$16$ を $16 a$ で因数分解します。

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 (a))$

ステップ 19.3.3.1.2

共通因数を約分します。

$2.41525603 = \frac{1}{16} (16 a)$

ステップ 19.3.3.1.3

式を書き換えます。

$2.41525603 = a$

ステップ 19.4

方程式を $a = 2.41525603$ として書き換えます。

$a = 2.41525603$

ステップ 20

与えられた三角形のすべての角と辺についての結果です。

1番目の三角形の組み合わせ：

$A = 111.31781254$

$B = 30$

$C = 38.68218745$

$a = 2 \sqrt{41 - 40 \cos (111.31781254)}$

$b = 8$

$c = 10$

2番目の三角形の組み合わせ：

$A = 8.68218745$

$B = 30$

$C = 141.31781254$

$a = 2.41525603$

$b = 8$

$c = 10$

三角関数 例

三角関数例