三角関数例

$C = 127.5$ , $a = 6$ , $b = 10.74$

ステップ 1

他の2つの辺と含まれる角から、余弦の法則を利用して三角形の未知の辺を求めます。

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

ステップ 2

方程式を解きます。

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

ステップ 3

既知数を方程式に代入します。

$c = \sqrt{{(6)}^{2} + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10.74 \cos (127.5)}$

ステップ 4

結果を簡約します。

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ステップ 4.1

$6$ を $2$ 乗します。

$c = \sqrt{36 + {(10.74)}^{2} - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

ステップ 4.2

$10.74$ を $2$ 乗します。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 2 \cdot 6 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

ステップ 4.3

$- 2 \cdot 6 \cdot 10.74$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 2$ に $6$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 12 \cdot (10.74 \cos (127.5))}$

ステップ 4.3.2

$- 12$ に $10.74$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (127.5)}$

ステップ 4.4

$\cos (127.5)$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ です。

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ステップ 4.4.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $127.5$ を書き直します。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 \cos (\frac{255}{2})}$

ステップ 4.4.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

ステップ 4.4.3

余弦が第二象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}})}$

ステップ 4.4.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (255)}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 4.4.4.1

$\cos (255)$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ です。

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ステップ 4.4.4.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (75)}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.2

$75$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \cos (30 + 45)}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.3

角の和の公式 $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ を当てはめます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\cos (30) \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.4

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos (45) - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.5

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (30) \sin (45))}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.6

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \sin (45))}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.7

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.8

$- (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$ を簡約します。

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ステップ 4.4.4.1.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.4.4.1.8.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.4.1.8.1.1.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.8.1.1.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.8.1.1.3

$3$ に $2$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.8.1.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.8.1.2

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.4.1.8.1.2.1

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.8.1.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}{2}})}$

ステップ 4.4.4.1.8.2

公分母の分子をまとめます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

ステップ 4.4.4.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4}{4} - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

ステップ 4.4.4.3

公分母の分子をまとめます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}}{2}})}$

ステップ 4.4.4.4

因数分解した形で $\frac{4 - (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}$ を書き換えます。

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ステップ 4.4.4.4.1

分配則を当てはめます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

ステップ 4.4.4.4.2

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.4.4.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + 1 \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

ステップ 4.4.4.4.2.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{2}})}$

ステップ 4.4.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}})}$

ステップ 4.4.4.6

$\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.4.6.1

$\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 \cdot 2}})}$

ステップ 4.4.4.6.2

$4$ に $2$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}})}$

ステップ 4.4.4.7

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}{8}}$ を $\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}}$ に書き換えます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{8}})}$

ステップ 4.4.4.8

分母を簡約します。

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ステップ 4.4.4.8.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.4.8.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{4 (2)}})}$

ステップ 4.4.4.8.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})}$

ステップ 4.4.4.8.2

累乗根の下から項を取り出します。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}})}$

ステップ 4.4.4.9

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- (\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))}$

ステップ 4.4.4.10

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.4.4.10.1

$\frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})}$

ステップ 4.4.4.10.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

ステップ 4.4.4.10.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

ステップ 4.4.4.10.4

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})}$

ステップ 4.4.4.10.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})}$

ステップ 4.4.4.10.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})}$

ステップ 4.4.4.10.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.4.10.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}$

ステップ 4.4.4.10.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}$

ステップ 4.4.4.10.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

ステップ 4.4.4.10.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.4.10.7.4.1

共通因数を約分します。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})}$

ステップ 4.4.4.10.7.4.2

式を書き換えます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

ステップ 4.4.4.10.7.5

指数を求めます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})}$

ステップ 4.4.4.11

根の積の法則を使ってまとめます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{2 \cdot 2})}$

ステップ 4.4.4.12

$2$ に $2$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 - 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

ステップ 4.5

$- 128.88 (- \frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1

$- 1$ に $- 128.88$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 128.88 (\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4})}$

ステップ 4.5.2

$128.88$ と $\frac{\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}$ をまとめます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{128.88 \sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}}{4}}$

ステップ 4.5.3

$128.88$ に $\sqrt{(4 - \sqrt{6} + \sqrt{2}) \cdot 2}$ をかけます。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + \frac{313.82869188}{4}}$

ステップ 4.6

$313.82869188$ を $4$ で割ります。

$c = \sqrt{36 + 115.3476 + 78.45717297}$

ステップ 4.7

$36$ と $115.3476$ をたし算します。

$c = \sqrt{151.3476 + 78.45717297}$

ステップ 4.8

$151.3476$ と $78.45717297$ をたし算します。

$c = \sqrt{229.80477297}$

ステップ 4.9

根の値を求めます。

$c = 15.15931307$

ステップ 5

正弦の法則は、三角形の辺と角の比例関係に基づくものです。この法則は、直角三角形ではない三角形の角について、三角形の各角は角の大きさと正弦値の比率が同じであることを述べています。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 6

既知数を正弦の法則に代入し $A$ を求めます。

$\frac{\sin (A)}{6} = \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

ステップ 7

$A$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺に $6$ を掛けます。

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

ステップ 7.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$6 \frac{\sin (A)}{6} = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\sin (A) = 6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$6 \frac{\sin (127.5)}{15.15931307}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1.1

$\sin (127.5)$ の値を求めます。

$\sin (A) = 6 (\frac{0.79335334}{15.15931307})$

ステップ 7.2.2.1.2

$0.79335334$ を $15.15931307$ で割ります。

$\sin (A) = 6 \cdot 0.05233438$

ステップ 7.2.2.1.3

$6$ に $0.05233438$ をかけます。

$\sin (A) = 0.31400631$

ステップ 7.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $A$ を取り出します。

$A = \arcsin (0.31400631)$

ステップ 7.4

右辺を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\arcsin (0.31400631)$ の値を求めます。

$A = 18.30083638$

ステップ 7.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$A = 180 - 18.30083638$

ステップ 7.6

$180$ から $18.30083638$ を引きます。

$A = 161.69916361$

ステップ 7.7

方程式 $A = 18.30083638$ に対する解です。

$A = 18.30083638, 161.69916361$

ステップ 7.8

無効な角を除きます。

$A = 18.30083638$

ステップ 8

三角形のすべての角の和は $180$ 度です。

$18.30083638 + 127.5 + B = 180$

ステップ 9

$B$ について方程式を解きます。

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ステップ 9.1

$18.30083638$ と $127.5$ をたし算します。

$145.80083638 + B = 180$

ステップ 9.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺から $145.80083638$ を引きます。

$B = 180 - 145.80083638$

ステップ 9.2.2

$180$ から $145.80083638$ を引きます。

$B = 34.19916361$

ステップ 10

与えられた三角形のすべての角と辺についての結果です。

$A = 18.30083638$

$B = 34.19916361$

$C = 127.5$

$a = 6$

$b = 10.74$

$c = 15.15931307$

三角関数 例

三角関数例