三角関数例

$c = 26$ , $b = 53$ , $B = 105$

ステップ 1

正弦の法則は、三角形の辺と角の比例関係に基づくものです。この法則は、直角三角形ではない三角形の角について、三角形の各角は角の大きさと正弦値の比率が同じであることを述べています。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 2

既知数を正弦の法則に代入し $C$ を求めます。

$\frac{\sin (C)}{26} = \frac{\sin (105)}{53}$

ステップ 3

$C$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $26$ を掛けます。

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

ステップ 3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$26$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$26 \frac{\sin (C)}{26} = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

ステップ 3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (105)}{53}$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$26 \frac{\sin (105)}{53}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$\sin (105)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ です。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (75)}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$75$ を6つの三角関数の値が分かっている角を2つに分割します。

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30 + 45)}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.3

角の和の公式を当てはめます。

$\sin (C) = 26 \frac{\sin (30) \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.4

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cos (45) + \cos (30) \sin (45)}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.5

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (30) \sin (45)}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.6

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (45)}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.7

$\sin (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.8

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1.8.1.1

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.1.8.1.1.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.2

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.1.8.1.2.1

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ に $\frac{\sqrt{2}}{2}$ をかけます。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.2.2

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.1.2.4

$2$ に $2$ をかけます。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}{53}$

ステップ 3.2.2.1.1.8.2

公分母の分子をまとめます。

$\sin (C) = 26 \frac{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}{53}$

ステップ 3.2.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (C) = 26 (\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53})$

ステップ 3.2.2.1.3

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} \cdot \frac{1}{53}$ を掛けます。

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ステップ 3.2.2.1.3.1

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ に $\frac{1}{53}$ をかけます。

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4 \cdot 53}$

ステップ 3.2.2.1.3.2

$4$ に $53$ をかけます。

$\sin (C) = 26 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

ステップ 3.2.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.1.4.1

$2$ を $26$ で因数分解します。

$\sin (C) = 2 (13) \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{212}$

ステップ 3.2.2.1.4.2

$2$ を $212$ で因数分解します。

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

ステップ 3.2.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$\sin (C) = 2 \cdot 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2 \cdot 106}$

ステップ 3.2.2.1.4.4

式を書き換えます。

$\sin (C) = 13 \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$

ステップ 3.2.2.1.5

$13$ と $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{106}$ をまとめます。

$\sin (C) = \frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106}$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $C$ を取り出します。

$C = \arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$

ステップ 3.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\arcsin (\frac{13 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{106})$ の値を求めます。

$C = 28.28452639$

ステップ 3.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$C = 180 - 28.28452639$

ステップ 3.6

$180$ から $28.28452639$ を引きます。

$C = 151.7154736$

ステップ 3.7

方程式 $C = 28.28452639$ に対する解です。

$C = 28.28452639, 151.7154736$

ステップ 3.8

無効な角を除きます。

$C = 28.28452639$

ステップ 4

三角形のすべての角の和は $180$ 度です。

$A + 28.28452639 + 105 = 180$

ステップ 5

$A$ について方程式を解きます。

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ステップ 5.1

$28.28452639$ と $105$ をたし算します。

$A + 133.28452639 = 180$

ステップ 5.2

$A$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $133.28452639$ を引きます。

$A = 180 - 133.28452639$

ステップ 5.2.2

$180$ から $133.28452639$ を引きます。

$A = 46.7154736$

ステップ 6

他の2つの辺と含まれる角から、余弦の法則を利用して三角形の未知の辺を求めます。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

ステップ 7

方程式を解きます。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

ステップ 8

既知数を方程式に代入します。

$a = \sqrt{{(53)}^{2} + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot 26 \cos (46.7154736)}$

ステップ 9

結果を簡約します。

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ステップ 9.1

$53$ を $2$ 乗します。

$a = \sqrt{2809 + {(26)}^{2} - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

ステップ 9.2

$26$ を $2$ 乗します。

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2 \cdot 53 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

ステップ 9.3

$- 2 \cdot 53 \cdot 26$ を掛けます。

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ステップ 9.3.1

$- 2$ に $53$ をかけます。

$a = \sqrt{2809 + 676 - 106 \cdot (26 \cos (46.7154736))}$

ステップ 9.3.2

$- 106$ に $26$ をかけます。

$a = \sqrt{2809 + 676 - 2756 \cos (46.7154736)}$

ステップ 9.4

$2809$ と $676$ をたし算します。

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

ステップ 10

与えられた三角形のすべての角と辺についての結果です。

$A = 46.7154736$

$B = 105$

$C = 28.28452639$

$a = \sqrt{3485 - 2756 \cos (46.7154736)}$

$b = 53$

$c = 26$

三角関数 例

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