三角関数例

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$

ステップ 1

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$ に $\frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}} \cdot \frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$

ステップ 2

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{\sqrt{5} + i \sqrt{15}}{5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}}$ に $\frac{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}{5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{(5 \sqrt{15} + 5 i \sqrt{5}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}$

ステップ 2.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{25 {\sqrt{15}}^{2} - 25 \sqrt{75} i + 25 i \sqrt{75} - 25 i^{2} {\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})}{500}$

ステップ 2.4

$5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5}$ と $500$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$5$ を $(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (5 \sqrt{15} - 5 i \sqrt{5})$ で因数分解します。

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{500}$

ステップ 2.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$5$ を $500$ で因数分解します。

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{5 (100)}$

ステップ 2.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{5 ((\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5}))}{5 \cdot 100}$

ステップ 2.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{5} + i \sqrt{15}) (\sqrt{15} - i \sqrt{5})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5} (\sqrt{15} - i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} (\sqrt{15} - i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{\sqrt{5 \cdot 15} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.2

$5$ に $15$ をかけます。

$\frac{\sqrt{75} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.3

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{25 (3)} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.3.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{3} + \sqrt{5} (- i \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.5

$\sqrt{5} (- i \sqrt{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{3} - i ({\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.5.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{3} - i ({\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}) + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 \sqrt{3} - i {\sqrt{5}}^{1 + 1} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 \sqrt{3} - i {\sqrt{5}}^{2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3} - i {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5^{1} + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.6.5

指数を求めます。

$\frac{5 \sqrt{3} - i \cdot 5 + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.7

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \sqrt{15} \sqrt{15} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.8

$i \sqrt{15} \sqrt{15}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.1

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}) + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.8.2

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}) + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.8.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {\sqrt{15}}^{1 + 1} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.8.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {\sqrt{15}}^{2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.9

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.9.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i {(15^{\frac{1}{2}})}^{2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.9.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.9.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.9.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{\frac{2}{2}} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.9.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15^{1} + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.9.5

指数を求めます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + i \cdot 15 + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.10

$15$ を $i$ の左に移動させます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 \cdot i + i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.11

$i \sqrt{15} (- i \sqrt{5})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.11.1

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- (i^{1} i) \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.11.2

$i$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- (i^{1} i^{1}) \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.11.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- i^{1 + 1} \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.11.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{15} (- i^{2} \sqrt{5})}{100}$

ステップ 4.1.11.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - i^{2} \sqrt{15 \cdot 5}}{100}$

ステップ 4.1.11.6

$15$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - i^{2} \sqrt{75}}{100}$

ステップ 4.1.12

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i - - 1 \sqrt{75}}{100}$

ステップ 4.1.13

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + 1 \sqrt{75}}{100}$

ステップ 4.1.14

$\sqrt{75}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{75}}{100}$

ステップ 4.1.15

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.15.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{25 (3)}}{100}$

ステップ 4.1.15.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{100}$

ステップ 4.1.16

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5 \sqrt{3} - 5 i + 15 i + 5 \sqrt{3}}{100}$

ステップ 4.2

$5 \sqrt{3}$ と $5 \sqrt{3}$ をたし算します。

$\frac{- 5 i + 15 i + 10 \sqrt{3}}{100}$

ステップ 4.3

$- 5 i$ と $15 i$ をたし算します。

$\frac{10 i + 10 \sqrt{3}}{100}$

ステップ 5

$10 i$ と $10 \sqrt{3}$ を並べ替えます。

$\frac{10 \sqrt{3} + 10 i}{100}$

ステップ 6

$10 \sqrt{3} + 10 i$ と $100$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$10$ を $10 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{10 (\sqrt{3}) + 10 i}{100}$

ステップ 6.2

$10$ を $10 i$ で因数分解します。

$\frac{10 (\sqrt{3}) + 10 (i)}{100}$

ステップ 6.3

$10$ を $10 (\sqrt{3}) + 10 (i)$ で因数分解します。

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{100}$

ステップ 6.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.4.1

$10$ を $100$ で因数分解します。

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{10 (10)}$

ステップ 6.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{10 (\sqrt{3} + i)}{10 \cdot 10}$

ステップ 6.4.3

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{3} + i}{10}$

三角関数 例

三角関数例