三角関数例

$f (x) = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$ , $f (x) = \frac{π}{6}$

ステップ 1

$\frac{π}{6}$ を $f (x)$ に代入します。

$\frac{π}{6} = 2 \sin (x) + \cos (2 x)$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

方程式を $2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$ として書き換えます。

$2 \sin (x) + \cos (2 x) = \frac{π}{6}$

ステップ 2.2

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$2 \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6}$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x) = \frac{π}{6} - 1$

ステップ 2.4

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.4.1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$2 (u) - 2 {(u)}^{2} = \frac{π}{6} - 1$

ステップ 2.4.2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $\frac{π}{6}$ を引きます。

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} = - 1$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 u - 2 u^{2} - \frac{π}{6} + 1 = 0$

ステップ 2.4.3

両辺に最小公分母 $6$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 2.4.3.1

分配則を当てはめます。

$6 (2 u) + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.4.3.2

簡約します。

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ステップ 2.4.3.2.1

$2$ に $6$ をかけます。

$12 u + 6 (- 2 u^{2}) + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.4.3.2.2

$- 2$ に $6$ をかけます。

$12 u - 12 u^{2} + 6 (- \frac{π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.4.3.2.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.3.2.3.1

$- \frac{π}{6}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.4.3.2.3.2

共通因数を約分します。

$12 u - 12 u^{2} + 6 (\frac{- π}{6}) + 6 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.4.3.2.3.3

式を書き換えます。

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 \cdot 1 = 0$

ステップ 2.4.3.2.4

$6$ に $1$ をかけます。

$12 u - 12 u^{2} - π + 6 = 0$

ステップ 2.4.3.3

$12 u$ と $- 12 u^{2}$ を並べ替えます。

$- 12 u^{2} + 12 u - π + 6 = 0$

ステップ 2.4.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.5

$a = - 12$ 、 $b = 12$ 、および $c = - π + 6$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 12 \cdot (- π + 6))}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.6.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.6.1.2

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.6.1.3

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.6.1.4

$- 1$ に $48$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.6.1.5

$48$ に $6$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.6.1.6

$144$ と $288$ をたし算します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.6.2

$2$ に $- 12$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

ステップ 2.4.6.3

$\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ を簡約します。

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

ステップ 2.4.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.7.1.2

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.7.1.3

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.7.1.4

$- 1$ に $48$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.7.1.5

$48$ に $6$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.7.1.6

$144$ と $288$ をたし算します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.7.2

$2$ に $- 12$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

ステップ 2.4.7.3

$\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ を簡約します。

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

ステップ 2.4.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

ステップ 2.4.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.8.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.8.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 12 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.8.1.2

$- 4$ に $- 12$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 \cdot (- π + 6)}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.8.1.3

分配則を当てはめます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 48 (- π) + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.8.1.4

$- 1$ に $48$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 48 \cdot 6}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.8.1.5

$48$ に $6$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 48 π + 288}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.8.1.6

$144$ と $288$ をたし算します。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{2 \cdot - 12}$

ステップ 2.4.8.2

$2$ に $- 12$ をかけます。

$u = \frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$

ステップ 2.4.8.3

$\frac{- 12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{- 24}$ を簡約します。

$u = \frac{12 \pm \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

ステップ 2.4.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$u = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

ステップ 2.4.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

ステップ 2.4.10

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}, \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

ステップ 2.4.11

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$

ステップ 2.4.12

$\sin (x) = \frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 2.4.12.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

ステップ 2.4.12.2

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

ステップ 2.4.12.3

括弧を削除します。

$x = π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

ステップ 2.4.12.4

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.12.4.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.4.12.4.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.4.12.4.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.4.12.4.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.4.12.5

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.4.13

$\sin (x) = \frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.13.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$

ステップ 2.4.13.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.13.2.1

$\arcsin (\frac{12 - \sqrt{432 - 48 π}}{24})$ の値を求めます。

$x = - 0.2000451$

ステップ 2.4.13.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

ステップ 2.4.13.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.13.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.2000451$

ステップ 2.4.13.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.2000451$

ステップ 2.4.13.4.3

$3.14159265$ と $0.2000451$ をたし算します。

$x = 3.34163776$

ステップ 2.4.13.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.13.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.4.13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.4.13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.4.13.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.4.13.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.13.6.1

$2 π$ を $- 0.2000451$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.2000451 + 2 π$

ステップ 2.4.13.6.2

$2 π$ から $0.2000451$ を引きます。

$6.08314019$

ステップ 2.4.13.6.3

新しい角をリストします。

$x = 6.08314019$

ステップ 2.4.13.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.4.14

すべての解をまとめます。

$x = \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, π - \arcsin (\frac{12 + \sqrt{432 - 48 π}}{24}) + 2 π n, 3.34163776 + 2 π n, 6.08314019 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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