三角関数例

$a = 3$ , $b = 4$ , $C = 30$

ステップ 1

他の2つの辺と含まれる角から、余弦の法則を利用して三角形の未知の辺を求めます。

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)$

ステップ 2

方程式を解きます。

$c = \sqrt{a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos (C)}$

ステップ 3

既知数を方程式に代入します。

$c = \sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cos (30)}$

ステップ 4

結果を簡約します。

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ステップ 4.1

$3$ を $2$ 乗します。

$c = \sqrt{9 + {(4)}^{2} - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

ステップ 4.2

$4$ を $2$ 乗します。

$c = \sqrt{9 + 16 - 2 \cdot 3 \cdot (4 \cos (30))}$

ステップ 4.3

$- 2 \cdot 3 \cdot 4$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

$- 2$ に $3$ をかけます。

$c = \sqrt{9 + 16 - 6 \cdot (4 \cos (30))}$

ステップ 4.3.2

$- 6$ に $4$ をかけます。

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \cos (30)}$

ステップ 4.4

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$c = \sqrt{9 + 16 - 24 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

ステップ 4.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.5.1

$2$ を $- 24$ で因数分解します。

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 (- 12) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

ステップ 4.5.2

共通因数を約分します。

$c = \sqrt{9 + 16 + 2 \cdot (- 12 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

ステップ 4.5.3

式を書き換えます。

$c = \sqrt{9 + 16 - 12 \sqrt{3}}$

ステップ 4.6

$9$ と $16$ をたし算します。

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$

ステップ 5

正弦の法則は、三角形の辺と角の比例関係に基づくものです。この法則は、直角三角形ではない三角形の角について、三角形の各角は角の大きさと正弦値の比率が同じであることを述べています。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 6

既知数を正弦の法則に代入し $A$ を求めます。

$\frac{\sin (A)}{3} = \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

ステップ 7

$A$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺に $3$ を掛けます。

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

ステップ 7.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$3 \frac{\sin (A)}{3} = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

ステップ 7.2.1.1.2

式を書き換えます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

ステップ 7.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$3 \frac{\sin (30)}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.1

$\sin (30)$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$\sin (A) = 3 \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

ステップ 7.2.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

ステップ 7.2.2.1.3

$\frac{1}{2}$ に $\frac{1}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ をかけます。

$\sin (A) = 3 \frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

ステップ 7.2.2.1.4

$\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ に $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ をかけます。

$\sin (A) = 3 (\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}})$

ステップ 7.2.2.1.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.5.1

$\frac{1}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ に $\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$ をかけます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}$

ステップ 7.2.2.1.5.2

$\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ を移動させます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

ステップ 7.2.2.1.5.3

$\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ を $1$ 乗します。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}})}$

ステップ 7.2.2.1.5.4

$\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ を $1$ 乗します。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1})}$

ステップ 7.2.2.1.5.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}$

ステップ 7.2.2.1.5.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}}$

ステップ 7.2.2.1.5.7

${\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}^{2}$ を $25 - 12 \sqrt{3}$ に書き換えます。

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ステップ 7.2.2.1.5.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ を ${(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {({(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 7.2.2.1.5.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 7.2.2.1.5.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.2.2.1.5.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.5.7.4.1

共通因数を約分します。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 7.2.2.1.5.7.4.2

式を書き換えます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 {(25 - 12 \sqrt{3})}^{1}}$

ステップ 7.2.2.1.5.7.5

簡約します。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$

ステップ 7.2.2.1.6

$\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ に $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ をかけます。

$\sin (A) = 3 (\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})} \cdot \frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}})$

ステップ 7.2.2.1.7

$\frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}}{2 (25 - 12 \sqrt{3})}$ に $\frac{25 + 12 \sqrt{3}}{25 + 12 \sqrt{3}}$ をかけます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3})}$

ステップ 7.2.2.1.8

式を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.8.1

$25 - 12 \sqrt{3}$ を移動させます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 ((25 - 12 \sqrt{3}) (25 + 12 \sqrt{3}))}$

ステップ 7.2.2.1.8.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 (625 + 300 \sqrt{3} - 300 \sqrt{3} - 144 {\sqrt{3}}^{2})}$

ステップ 7.2.2.1.8.3

簡約します。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{2 \cdot 193}$

ステップ 7.2.2.1.8.4

$2$ に $193$ をかけます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (25 + 12 \sqrt{3})}{386}$

ステップ 7.2.2.1.9

分配則を当てはめます。

$\sin (A) = 3 \frac{\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} \cdot 25 + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

ステップ 7.2.2.1.10

$25$ を $\sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$ の左に移動させます。

$\sin (A) = 3 \frac{25 \cdot \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} (12 \sqrt{3})}{386}$

ステップ 7.2.2.1.11

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sin (A) = 3 \frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$

ステップ 7.2.2.1.12

$3$ と $\frac{25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3}}{386}$ をまとめます。

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{(25 - 12 \sqrt{3}) \cdot 3})}{386}$

ステップ 7.2.2.1.13

$3$ を $25 - 12 \sqrt{3}$ の左に移動させます。

$\sin (A) = \frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386}$

ステップ 7.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $A$ を取り出します。

$A = \arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$

ステップ 7.4

右辺を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$\arcsin (\frac{3 (25 \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}} + 12 \sqrt{3 (25 - 12 \sqrt{3})})}{386})$ の値を求めます。

$A = 46.93568657$

ステップ 7.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$A = 180 - 46.93568657$

ステップ 7.6

$180$ から $46.93568657$ を引きます。

$A = 133.06431342$

ステップ 7.7

方程式 $A = 46.93568657$ に対する解です。

$A = 46.93568657, 133.06431342$

ステップ 8

三角形のすべての角の和は $180$ 度です。

$46.93568657 + 30 + B = 180$

ステップ 9

$B$ について方程式を解きます。

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ステップ 9.1

$46.93568657$ と $30$ をたし算します。

$76.93568657 + B = 180$

ステップ 9.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺から $76.93568657$ を引きます。

$B = 180 - 76.93568657$

ステップ 9.2.2

$180$ から $76.93568657$ を引きます。

$B = 103.06431342$

ステップ 10

与えられた三角形のすべての角と辺についての結果です。

$A = 46.93568657$

$B = 103.06431342$

$C = 30$

$a = 3$

$b = 4$

$c = \sqrt{25 - 12 \sqrt{3}}$

三角関数 例

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