三角関数例

$b = 1$ , $c = 2$ , $A = 150$

ステップ 1

他の2つの辺と含まれる角から、余弦の法則を利用して三角形の未知の辺を求めます。

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)$

ステップ 2

方程式を解きます。

$a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos (A)}$

ステップ 3

既知数を方程式に代入します。

$a = \sqrt{{(1)}^{2} + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cos (150)}$

ステップ 4

結果を簡約します。

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ステップ 4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$a = \sqrt{1 + {(2)}^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

ステップ 4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot (2 \cos (150))}$

ステップ 4.3

$- 2 \cdot 1 \cdot 2$ を掛けます。

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ステップ 4.3.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 \cdot (2 \cos (150))}$

ステップ 4.3.2

$- 2$ に $2$ をかけます。

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \cos (150)}$

ステップ 4.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \cos (30))}$

ステップ 4.5

$\cos (30)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})}$

ステップ 4.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$a = \sqrt{1 + 4 - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}}$

ステップ 4.6.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 (- 2) (\frac{- \sqrt{3}}{2})}$

ステップ 4.6.3

共通因数を約分します。

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \cdot (- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2})}$

ステップ 4.6.4

式を書き換えます。

$a = \sqrt{1 + 4 - 2 (- \sqrt{3})}$

ステップ 4.7

式を簡約します。

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ステップ 4.7.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$a = \sqrt{1 + 4 + 2 \sqrt{3}}$

ステップ 4.7.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$a = \sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}$

ステップ 5

正弦の法則は、三角形の辺と角の比例関係に基づくものです。この法則は、直角三角形ではない三角形の角について、三角形の各角は角の大きさと正弦値の比率が同じであることを述べています。

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 6

既知数を正弦の法則に代入し $B$ を求めます。

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

ステップ 7

$B$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.1

2つの関数を等しくするために、それぞれの因数を等しくする必要があります。

$B = 150$

ステップ 7.2

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$B = 180 - 150$

ステップ 7.3

$180$ から $150$ を引きます。

$B = 30$

ステップ 7.4

方程式 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ に対する解です。

$B = 150, 30$

ステップ 7.5

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 8

この三角形の解を求めるために十分なパラメータが与えられていません。

未知の三角形

ステップ 9

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 10

既知数を正弦の法則に代入し $B$ を求めます。

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

ステップ 11

$B$ について方程式を解きます。

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ステップ 11.1

2つの関数を等しくするために、それぞれの因数を等しくする必要があります。

$B = 150$

ステップ 11.2

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$B = 180 - 150$

ステップ 11.3

$180$ から $150$ を引きます。

$B = 30$

ステップ 11.4

方程式 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ に対する解です。

$B = 150, 30$

ステップ 11.5

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 12

この三角形の解を求めるために十分なパラメータが与えられていません。

未知の三角形

ステップ 13

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 14

既知数を正弦の法則に代入し $B$ を求めます。

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

ステップ 15

$B$ について方程式を解きます。

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ステップ 15.1

2つの関数を等しくするために、それぞれの因数を等しくする必要があります。

$B = 150$

ステップ 15.2

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$B = 180 - 150$

ステップ 15.3

$180$ から $150$ を引きます。

$B = 30$

ステップ 15.4

方程式 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ に対する解です。

$B = 150, 30$

ステップ 15.5

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 16

この三角形の解を求めるために十分なパラメータが与えられていません。

未知の三角形

ステップ 17

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 18

既知数を正弦の法則に代入し $B$ を求めます。

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

ステップ 19

$B$ について方程式を解きます。

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ステップ 19.1

2つの関数を等しくするために、それぞれの因数を等しくする必要があります。

$B = 150$

ステップ 19.2

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$B = 180 - 150$

ステップ 19.3

$180$ から $150$ を引きます。

$B = 30$

ステップ 19.4

方程式 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ に対する解です。

$B = 150, 30$

ステップ 19.5

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 20

この三角形の解を求めるために十分なパラメータが与えられていません。

未知の三角形

ステップ 21

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

ステップ 22

既知数を正弦の法則に代入し $B$ を求めます。

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$

ステップ 23

$B$ について方程式を解きます。

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ステップ 23.1

2つの関数を等しくするために、それぞれの因数を等しくする必要があります。

$B = 150$

ステップ 23.2

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $180$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$B = 180 - 150$

ステップ 23.3

$180$ から $150$ を引きます。

$B = 30$

ステップ 23.4

方程式 $\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ に対する解です。

$B = 150, 30$

ステップ 23.5

$\frac{\sin (B)}{1} = \frac{\sin (150)}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{3}}}$ が真にならない解を除外します。

$解がありません$

ステップ 24

この三角形の解を求めるために十分なパラメータが与えられていません。

未知の三角形

三角関数 例

三角関数例