三角関数例

$(- 5, - \frac{3 π}{4})$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(- 5, - \frac{3 π}{4})$ を結ぶ線との間の $\cos (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(- 5, 0)$ 、 $(- 5, - \frac{3 π}{4})$ で三角形を描きます。

反対： $- \frac{3 π}{4}$

隣接： $- 5$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{25 + {(- \frac{3 π}{4})}^{2}}$

ステップ 2.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $- \frac{3 π}{4}$ に当てはめます。

$\sqrt{25 + {(- 1)}^{2} {(\frac{3 π}{4})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

積の法則を $\frac{3 π}{4}$ に当てはめます。

$\sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \frac{{(3 π)}^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 2.2.3

積の法則を $3 π$ に当てはめます。

$\sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 2.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{25 + 1 \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 2.4

$\frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{25 + \frac{3^{2} π^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 2.5

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{25 + \frac{9 π^{2}}{4^{2}}}$

ステップ 2.6

$4$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{25 + \frac{9 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.7

$25$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$\sqrt{25 \cdot \frac{16}{16} + \frac{9 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.8

$25$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16}{16} + \frac{9 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.9

式を簡約します。

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ステップ 2.9.1

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{25 \cdot 16 + 9 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.9.2

$25$ に $16$ をかけます。

$\sqrt{\frac{400 + 9 π^{2}}{16}}$

ステップ 2.10

$\sqrt{\frac{400 + 9 π^{2}}{16}}$ を $\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{16}}$

ステップ 2.11

分母を簡約します。

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ステップ 2.11.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{4^{2}}}$

ステップ 2.11.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{4}$

ステップ 3

$\cos (θ) = \frac{隣接}{斜辺}$ ゆえに $\cos (θ) = \frac{- 5}{\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{4}}$ 。

$\frac{- 5}{\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{4}}$

ステップ 4

$\cos (θ)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}$

ステップ 4.2

$\frac{4}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}$ をかけます。

$\cos (θ) = - 5 (\frac{4}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}})$

ステップ 4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\frac{4}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}$ をかけます。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}} \sqrt{400 + 9 π^{2}}}$

ステップ 4.3.2

$\sqrt{400 + 9 π^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}} \sqrt{400 + 9 π^{2}}}$

ステップ 4.3.3

$\sqrt{400 + 9 π^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{\sqrt{400 + 9 π^{2}} \sqrt{400 + 9 π^{2}}}$

ステップ 4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{\sqrt{400 + 9 π^{2}}}^{2}}$

ステップ 4.3.6

${\sqrt{400 + 9 π^{2}}}^{2}$ を $400 + 9 π^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{400 + 9 π^{2}}$ を ${(400 + 9 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{({(400 + 9 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{(400 + 9 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{(400 + 9 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{{(400 + 9 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$

ステップ 4.3.6.5

簡約します。

$\cos (θ) = - 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$

ステップ 4.4

$- 5 \frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$- 5$ と $\frac{4 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$ をまとめます。

$\cos (θ) = \frac{- 5 (4 \sqrt{400 + 9 π^{2}})}{400 + 9 π^{2}}$

ステップ 4.4.2

$4$ に $- 5$ をかけます。

$\cos (θ) = \frac{- 20 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (θ) = - \frac{20 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\cos (θ) = - \frac{20 \sqrt{400 + 9 π^{2}}}{400 + 9 π^{2}} \approx - 0.90459181$

三角関数 例

三角関数例