三角関数例

$(- 3, \frac{- 2 π}{3})$

ステップ 1

x軸と点 $(0, 0)$ と点 $(- 3, \frac{- 2 π}{3})$ を結ぶ線との間の $\cos (θ)$ を求めるために、3点 $(0, 0)$ 、 $(- 3, 0)$ 、 $(- 3, \frac{- 2 π}{3})$ で三角形を描きます。

反対： $\frac{- 2 π}{3}$

隣接： $- 3$

ステップ 2

ピタゴラスの定理 $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ を利用して斜辺を求めます。

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ステップ 2.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + {(\frac{- 2 π}{3})}^{2}}$

ステップ 2.2

分数の前に負数を移動させます。

$\sqrt{9 + {(- \frac{2 π}{3})}^{2}}$

ステップ 2.3

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.3.1

積の法則を $- \frac{2 π}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} {(\frac{2 π}{3})}^{2}}$

ステップ 2.3.2

積の法則を $\frac{2 π}{3}$ に当てはめます。

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \frac{{(2 π)}^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 2.3.3

積の法則を $2 π$ に当てはめます。

$\sqrt{9 + {(- 1)}^{2} \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 2.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + 1 \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 2.5

$\frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\sqrt{9 + \frac{2^{2} π^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 2.6

$2$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 2.7

$3$ を $2$ 乗します。

$\sqrt{9 + \frac{4 π^{2}}{9}}$

ステップ 2.8

$9$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{9}{9}$ を掛けます。

$\sqrt{9 \cdot \frac{9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

ステップ 2.9

$9$ と $\frac{9}{9}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9}{9} + \frac{4 π^{2}}{9}}$

ステップ 2.10

式を簡約します。

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ステップ 2.10.1

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{9 \cdot 9 + 4 π^{2}}{9}}$

ステップ 2.10.2

$9$ に $9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$

ステップ 2.11

$\sqrt{\frac{81 + 4 π^{2}}{9}}$ を $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{9}}$

ステップ 2.12

分母を簡約します。

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ステップ 2.12.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 2.12.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}$

ステップ 3

$\cos (θ) = \frac{隣接}{斜辺}$ ゆえに $\cos (θ) = \frac{- 3}{\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}}$ 。

$\frac{- 3}{\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{3}}$

ステップ 4

$\cos (θ)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

ステップ 4.2

$\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ をかけます。

$\cos (θ) = - 3 (\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}})$

ステップ 4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.3.1

$\frac{3}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}$ をかけます。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

ステップ 4.3.2

$\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

ステップ 4.3.3

$\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ を $1$ 乗します。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{\sqrt{81 + 4 π^{2}} \sqrt{81 + 4 π^{2}}}$

ステップ 4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{2}}$

ステップ 4.3.6

${\sqrt{81 + 4 π^{2}}}^{2}$ を $81 + 4 π^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{81 + 4 π^{2}}$ を ${(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{({(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{{(81 + 4 π^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

ステップ 4.3.6.5

簡約します。

$\cos (θ) = - 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

ステップ 4.4

$- 3 \frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$ を掛けます。

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ステップ 4.4.1

$- 3$ と $\frac{3 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$ をまとめます。

$\cos (θ) = \frac{- 3 (3 \sqrt{81 + 4 π^{2}})}{81 + 4 π^{2}}$

ステップ 4.4.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\cos (θ) = \frac{- 9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

ステップ 4.5

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (θ) = - \frac{9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}}$

ステップ 5

結果の近似値を求めます。

$\cos (θ) = - \frac{9 \sqrt{81 + 4 π^{2}}}{81 + 4 π^{2}} \approx - 0.81995096$

三角関数 例

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