三角関数例

$(3, - 4)$ , $(- 5, 7)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot - 5 - 4 \cdot 7$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$3$ に $- 5$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 - 4 \cdot 7$

ステップ 2.2.1.2

$- 4$ に $7$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 15 - 28$

ステップ 2.2.2

$- 15$ から $28$ を引きます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 43$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + {(- 4)}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + {(- 4)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 16}$

ステップ 3.2.3

$9$ と $16$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{25}$

ステップ 3.2.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

ステップ 3.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| a⃗ | = 5$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 5)}^{2} + 7^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 7^{2}}$

ステップ 4.2.2

$7$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 49}$

ステップ 4.2.3

$25$ と $49$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{74}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{- 43}{5 \sqrt{74}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分数の前に負数を移動させます。

$θ = \arccos (- \frac{43}{5 \sqrt{74}})$

ステップ 6.2

$\frac{43}{5 \sqrt{74}}$ に $\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- (\frac{43}{5 \sqrt{74}} \cdot \frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}))$

ステップ 6.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{43}{5 \sqrt{74}}$ に $\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \sqrt{74} \sqrt{74}})$

ステップ 6.3.2

$\sqrt{74}$ を移動させます。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 (\sqrt{74} \sqrt{74})})$

ステップ 6.3.3

$\sqrt{74}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 ({\sqrt{74}}^{1} \sqrt{74})})$

ステップ 6.3.4

$\sqrt{74}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 ({\sqrt{74}}^{1} {\sqrt{74}}^{1})})$

ステップ 6.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 {\sqrt{74}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 {\sqrt{74}}^{2}})$

ステップ 6.3.7

${\sqrt{74}}^{2}$ を $74$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{74}$ を $74^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 {(74^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.3.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.3.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.7.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74^{1}})$

ステップ 6.3.7.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{5 \cdot 74})$

ステップ 6.4

$5$ に $74$ をかけます。

$θ = \arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{370})$

ステップ 6.5

$\arccos (- \frac{43 \sqrt{74}}{370})$ の値を求めます。

$θ = 178.66778014$

三角関数 例

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