三角関数例

$(- 2, 5)$ , $(0, 9)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 0 + 5 \cdot 9$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 2$ に $0$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 5 \cdot 9$

ステップ 2.2.1.2

$5$ に $9$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 45$

ステップ 2.2.2

$0$ と $45$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 45$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 5^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 5^{2}}$

ステップ 3.2.2

$5$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 25}$

ステップ 3.2.3

$4$ と $25$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{29}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + 9^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 9^{2}}$

ステップ 4.2.2

$9$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 81}$

ステップ 4.2.3

$0$ と $81$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{81}$

ステップ 4.2.4

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2}}$

ステップ 4.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| b⃗ | = 9$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{45}{\sqrt{29} \cdot 9})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$45$ と $9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$9$ を $45$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 5}{\sqrt{29} \cdot 9})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$9$ を $\sqrt{29} \cdot 9$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 5}{9 \cdot \sqrt{29}})$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{9 \cdot 5}{9 \cdot \sqrt{29}})$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{5}{\sqrt{29}})$

ステップ 6.2

$\frac{5}{\sqrt{29}}$ に $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{5}{\sqrt{29}} \cdot \frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}})$

ステップ 6.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{5}{\sqrt{29}}$ に $\frac{\sqrt{29}}{\sqrt{29}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{\sqrt{29} \sqrt{29}})$

ステップ 6.3.2

$\sqrt{29}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} \sqrt{29}})$

ステップ 6.3.3

$\sqrt{29}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1} {\sqrt{29}}^{1}})$

ステップ 6.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{{\sqrt{29}}^{2}})$

ステップ 6.3.6

${\sqrt{29}}^{2}$ を $29$ に書き換えます。

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ステップ 6.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{29}$ を $29^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{{(29^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{29^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{29^{1}})$

ステップ 6.3.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$

ステップ 6.4

$\arccos (\frac{5 \sqrt{29}}{29})$ の値を求めます。

$θ = 21.80140948$

三角関数 例

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