三角関数例

$(2, - 1)$ , $(- 2, - 3)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 2 - - 3$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 - - 3$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 4 + 3$

ステップ 2.2.2

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(- 1)}^{2}}$

ステップ 3.2.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

ステップ 3.2.3

$4$ と $1$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + {(- 3)}^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + {(- 3)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 9}$

ステップ 4.2.3

$4$ と $9$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{13}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5} \sqrt{13}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.1.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{5 \cdot 13}})$

ステップ 6.1.2

$5$ に $13$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{65}})$

ステップ 6.2

分数の前に負数を移動させます。

$θ = \arccos (- \frac{1}{\sqrt{65}})$

ステップ 6.3

$\frac{1}{\sqrt{65}}$ に $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- (\frac{1}{\sqrt{65}} \cdot \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}))$

ステップ 6.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.4.1

$\frac{1}{\sqrt{65}}$ に $\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{\sqrt{65} \sqrt{65}})$

ステップ 6.4.2

$\sqrt{65}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} \sqrt{65}})$

ステップ 6.4.3

$\sqrt{65}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1} {\sqrt{65}}^{1}})$

ステップ 6.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{\sqrt{65}}^{2}})$

ステップ 6.4.6

${\sqrt{65}}^{2}$ を $65$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{65}$ を $65^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{{(65^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65^{1}})$

ステップ 6.4.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65})$

ステップ 6.5

$\arccos (- \frac{\sqrt{65}}{65})$ の値を求めます。

$θ = 97.12501634$

三角関数 例

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