三角関数例

(- 2, 0)

$(- 2, 0)$ ,

(1, 7)

$(1, 7)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

θ = arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 \cdot 1 + 0 \cdot 7$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

- 2

$- 2$ に

1

$1$ をかけます。

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0 \cdot 7$

ステップ 2.2.1.2

0

$0$ に

7

$7$ をかけます。

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2 + 0$

ステップ 2.2.2

- 2

$- 2$ と

0

$0$ をたし算します。

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

a⃗ \cdot b⃗ = - 2

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

ステップ 3

a⃗

$a⃗$ の大きさを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 0^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

- 2

$- 2$ を

2

$2$ 乗します。

| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2}}$

ステップ 3.2.2

0

$0$ を正数乗し、

0

$0$ を得ます。

| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0}$

ステップ 3.2.3

4

$4$ と

0

$0$ をたし算します。

| a⃗ | = \sqrt{4}

$| a⃗ | = \sqrt{4}$

ステップ 3.2.4

4

$4$ を

2^{2}

$2^{2}$ に書き換えます。

| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2}}$

ステップ 3.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

| a⃗ | = 2

$| a⃗ | = 2$

ステップ 4

b⃗

$b⃗$ の大きさを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + 7^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 7^{2}}$

ステップ 4.2.2

7

$7$ を

2

$2$ 乗します。

| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 49}$

ステップ 4.2.3

1

$1$ と

49

$49$ をたし算します。

| b⃗ | = \sqrt{50}

$| b⃗ | = \sqrt{50}$

ステップ 4.2.4

50

$50$ を

5^{2} \cdot 2

$5^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.1

25

$25$ を

50

$50$ で因数分解します。

| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}

$| b⃗ | = \sqrt{25 (2)}$

ステップ 4.2.4.2

25

$25$ を

5^{2}

$5^{2}$ に書き換えます。

| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

ステップ 4.2.5

累乗根の下から項を取り出します。

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

| b⃗ | = 5 \sqrt{2}

$| b⃗ | = 5 \sqrt{2}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{- 2}{2 (5 \sqrt{2})})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

- 2

$- 2$ と

2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

2

$2$ を

- 2

$- 2$ で因数分解します。

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

共通因数を約分します。

θ = arccos ⎛ ⎜ ⎝ \frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})} ⎞ ⎟ ⎠

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (5 \sqrt{2})})$

ステップ 6.1.2.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{5 \sqrt{2}})$

ステップ 6.2

分数の前に負数を移動させます。

$θ = \arccos (- \frac{1}{5 \sqrt{2}})$

ステップ 6.3

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- (\frac{1}{5 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

ステップ 6.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.4.1

$\frac{1}{5 \sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

ステップ 6.4.2

$\sqrt{2}$ を移動させます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

ステップ 6.4.3

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

ステップ 6.4.4

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

ステップ 6.4.5

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.4.6

$1$ と

$1$ をたし算します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {\sqrt{2}}^{2}})$

ステップ 6.4.7

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

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ステップ 6.4.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.4.7.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.4.7.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.7.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.4.7.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2^{1}})$

ステップ 6.4.7.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{5 \cdot 2})$

ステップ 6.5

$5$ に

$2$ をかけます。

$θ = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$

ステップ 6.6

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{10})$ の値を求めます。

$θ = 98.13010235$

三角関数 例

三角関数例