三角関数例

$(2, \sqrt{3})$ , $(- 4, 2 \sqrt{3})$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 2 \cdot - 4 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$2$ に $- 4$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$

ステップ 2.2.1.2

$\sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.2.1

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

ステップ 2.2.1.2.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

ステップ 2.2.1.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

ステップ 2.2.1.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {\sqrt{3}}^{2}$

ステップ 2.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3^{1}$

ステップ 2.2.1.3.5

指数を求めます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 2 \cdot 3$

ステップ 2.2.1.4

$2$ に $3$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 8 + 6$

ステップ 2.2.2

$- 8$ と $6$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 2$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 3.2.2

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.2.2.4.2

式を書き換えます。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3^{1}}$

ステップ 3.2.2.5

指数を求めます。

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 3}$

ステップ 3.2.3

$4$ と $3$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{7}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

ステップ 4.2.2

積の法則を $2 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.2.4

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.4.4.2

式を書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3^{1}}$

ステップ 4.2.4.5

指数を求めます。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 4 \cdot 3}$

ステップ 4.2.5

$4$ に $3$ をかけます。

$| b⃗ | = \sqrt{16 + 12}$

ステップ 4.2.6

$16$ と $12$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{28}$

ステップ 4.2.7

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 4.2.7.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$| b⃗ | = \sqrt{4 (7)}$

ステップ 4.2.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

ステップ 4.2.8

累乗根の下から項を取り出します。

$| b⃗ | = 2 \sqrt{7}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{- 2}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{\sqrt{7} (2 \sqrt{7})})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$2$ を $\sqrt{7} (2 \sqrt{7})$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{2 \cdot - 1}{2 (\sqrt{7} (\sqrt{7}))})$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{\sqrt{7} (\sqrt{7})})$

ステップ 6.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}})$

ステップ 6.2.2

$\sqrt{7}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}})$

ステップ 6.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{\sqrt{7}}^{2}})$

ステップ 6.3

${\sqrt{7}}^{2}$ を $7$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{7}$ を $7^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7^{1}})$

ステップ 6.3.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{7})$

ステップ 6.4

分数の前に負数を移動させます。

$θ = \arccos (- \frac{1}{7})$

ステップ 6.5

$\arccos (- \frac{1}{7})$ の値を求めます。

$θ = 98.2132107$

三角関数 例

三角関数例