三角関数例

$(- 1, 5)$ , $(5, 12)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = - 1 \cdot 5 + 5 \cdot 12$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 5 + 5 \cdot 12$

ステップ 2.2.1.2

$5$ に $12$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 5 + 60$

ステップ 2.2.2

$- 5$ と $60$ をたし算します。

$a⃗ \cdot b⃗ = 55$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + 5^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 5^{2}}$

ステップ 3.2.2

$5$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + 25}$

ステップ 3.2.3

$1$ と $25$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{26}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2} + 12^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 12^{2}}$

ステップ 4.2.2

$12$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{25 + 144}$

ステップ 4.2.3

$25$ と $144$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{169}$

ステップ 4.2.4

$169$ を $13^{2}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{13^{2}}$

ステップ 4.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| b⃗ | = 13$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{55}{\sqrt{26} \cdot 13})$

ステップ 6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$13$ を $\sqrt{26}$ の左に移動させます。

$θ = \arccos (\frac{55}{13 \sqrt{26}})$

ステップ 6.2

$\frac{55}{13 \sqrt{26}}$ に $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{55}{13 \sqrt{26}} \cdot \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}})$

ステップ 6.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$\frac{55}{13 \sqrt{26}}$ に $\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{26}}$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 \sqrt{26} \sqrt{26}})$

ステップ 6.3.2

$\sqrt{26}$ を移動させます。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 (\sqrt{26} \sqrt{26})})$

ステップ 6.3.3

$\sqrt{26}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 ({\sqrt{26}}^{1} \sqrt{26})})$

ステップ 6.3.4

$\sqrt{26}$ を $1$ 乗します。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 ({\sqrt{26}}^{1} {\sqrt{26}}^{1})})$

ステップ 6.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 {\sqrt{26}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 {\sqrt{26}}^{2}})$

ステップ 6.3.7

${\sqrt{26}}^{2}$ を $26$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{26}$ を $26^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 {(26^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.3.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 \cdot 26^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.3.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 \cdot 26^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.7.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 \cdot 26^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.3.7.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 \cdot 26^{1}})$

ステップ 6.3.7.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{13 \cdot 26})$

ステップ 6.4

$13$ に $26$ をかけます。

$θ = \arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{338})$

ステップ 6.5

$\arccos (\frac{55 \sqrt{26}}{338})$ の値を求めます。

$θ = 33.92979742$

三角関数 例

三角関数例