三角関数例

$(1, \frac{5}{3})$ ,

$(1, - 8)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$1$ に

$1$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

ステップ 2.2.1.2

$\frac{5}{3} \cdot - 8$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.2.1

$\frac{5}{3}$ と

$- 8$ をまとめます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

ステップ 2.2.1.2.2

$5$ に

$- 8$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

ステップ 2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

ステップ 2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

ステップ 2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

ステップ 2.2.4

$3$ から

$40$ を引きます。

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

ステップ 2.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

ステップ 3.2.2

積の法則を

$\frac{5}{3}$ に当てはめます。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

ステップ 3.2.3

$5$ を

$2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

ステップ 3.2.4

$3$ を

$2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

ステップ 3.2.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

ステップ 3.2.6

公分母の分子をまとめます。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

ステップ 3.2.7

$9$ と

$25$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

ステップ 3.2.8

$\sqrt{\frac{34}{9}}$ を

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

ステップ 3.2.9

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.9.1

$9$ を

$3^{2}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 3.2.9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 8$ を

$2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

ステップ 4.2.3

$1$ と

$64$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

ステップ 6.2

$\frac{\sqrt{34}}{3}$ と

$\sqrt{65}$ をまとめます。

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

ステップ 6.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.3.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

ステップ 6.3.2

$34$ に

$65$ をかけます。

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

ステップ 6.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

ステップ 6.5

$\frac{3}{\sqrt{2210}}$ に

$1$ をかけます。

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

ステップ 6.6

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.6.1

$- \frac{37}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

ステップ 6.6.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

ステップ 6.6.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

ステップ 6.7

$- 37$ と

$\frac{1}{\sqrt{2210}}$ をまとめます。

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

ステップ 6.8

分数の前に負数を移動させます。

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

ステップ 6.9

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ に

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

ステップ 6.10

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 6.10.1

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ に

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ をかけます。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

ステップ 6.10.2

$\sqrt{2210}$ を

$1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

ステップ 6.10.3

$\sqrt{2210}$ を

$1$ 乗します。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

ステップ 6.10.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

ステップ 6.10.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

ステップ 6.10.6

${\sqrt{2210}}^{2}$ を

$2210$ に書き換えます。

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ステップ 6.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2210}$ を

$2210^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

ステップ 6.10.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

ステップ 6.10.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.10.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.10.6.4.1

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

ステップ 6.10.6.4.2

式を書き換えます。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

ステップ 6.10.6.5

指数を求めます。

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

ステップ 6.11

$\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ の値を求めます。

$θ = 141.91122711$

三角関数 例

三角関数例