三角関数例

$(0, 4)$ , $(0, - 5)$

ステップ 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

ステップ 2

Find the dot product.

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ステップ 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 \cdot 0 + 4 \cdot - 5$

ステップ 2.2

簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$0$ に $0$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 + 4 \cdot - 5$

ステップ 2.2.1.2

$4$ に $- 5$ をかけます。

$a⃗ \cdot b⃗ = 0 - 20$

ステップ 2.2.2

$0$ から $20$ を引きます。

$a⃗ \cdot b⃗ = - 20$

ステップ 3

$a⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{0^{2} + 4^{2}}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 4^{2}}$

ステップ 3.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$| a⃗ | = \sqrt{0 + 16}$

ステップ 3.2.3

$0$ と $16$ をたし算します。

$| a⃗ | = \sqrt{16}$

ステップ 3.2.4

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$| a⃗ | = \sqrt{4^{2}}$

ステップ 3.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| a⃗ | = 4$

ステップ 4

$b⃗$ の大きさを求めます。

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ステップ 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{0^{2} + {(- 5)}^{2}}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + {(- 5)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

$- 5$ を $2$ 乗します。

$| b⃗ | = \sqrt{0 + 25}$

ステップ 4.2.3

$0$ と $25$ をたし算します。

$| b⃗ | = \sqrt{25}$

ステップ 4.2.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$| b⃗ | = \sqrt{5^{2}}$

ステップ 4.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$| b⃗ | = 5$

ステップ 5

値を公式に代入します。

$θ = \arccos (\frac{- 20}{4 \cdot 5})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$- 20$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

$4$ を $- 20$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 5})$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.2.1

$4$ を $4 \cdot 5$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 (5)})$

ステップ 6.1.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{4 \cdot - 5}{4 \cdot 5})$

ステップ 6.1.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{- 5}{5})$

ステップ 6.2

$- 5$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5})$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$5$ を $5$ で因数分解します。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5 (1)})$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$θ = \arccos (\frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1})$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$θ = \arccos (\frac{- 1}{1})$

ステップ 6.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$θ = \arccos (- 1)$

ステップ 6.3

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $180$ です。

$θ = 180$

三角関数 例

三角関数例