三角関数例

$h = - 16 t^{2} + 112 t$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$- 16 x^{2} + 112 x$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 16$

$b = 112$

$c = 0$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{112}{2 \cdot - 16}$

ステップ 1.1.1.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$112$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.1

$2$ を $112$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 56}{2 \cdot - 16}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 16$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 56}{2 (- 16)}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 56}{2 \cdot - 16}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{56}{- 16}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$56$ と $- 16$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.2.1

$8$ を $56$ で因数分解します。

$d = \frac{8 (7)}{- 16}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.2.2.1

$8$ を $- 16$ で因数分解します。

$d = \frac{8 \cdot 7}{8 \cdot - 2}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{8 \cdot 7}{8 \cdot - 2}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{7}{- 2}$

ステップ 1.1.1.3.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$d = - \frac{7}{2}$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{112^{2}}{4 \cdot - 16}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$112$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{12544}{4 \cdot - 16}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

$4$ に $- 16$ をかけます。

$e = 0 - \frac{12544}{- 64}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.3

$12544$ を $- 64$ で割ります。

$e = 0 - - 196$

ステップ 1.1.1.4.2.1.4

$- 1$ に $- 196$ をかけます。

$e = 0 + 196$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$0$ と $196$ をたし算します。

$e = 196$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 16 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 196$ に代入します。

$- 16 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 196$

ステップ 1.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = - 16 {(x - \frac{7}{2})}^{2} + 196$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = - 16$

$h = \frac{7}{2}$

$k = 196$

ステップ 1.3

$a$ の値が負なので、放物線は下に開です。

下に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(\frac{7}{2}, 196)$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot - 16}$

ステップ 1.5.3

簡約します。

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ステップ 1.5.3.1

$4$ に $- 16$ をかけます。

$\frac{1}{- 64}$

ステップ 1.5.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{64}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\frac{7}{2}, \frac{12543}{64})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = \frac{7}{2}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = \frac{12545}{64}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(\frac{7}{2}, 196)$

焦点： $(\frac{7}{2}, \frac{12543}{64})$

対称軸： $x = \frac{7}{2}$

準線： $y = \frac{12545}{64}$

方向：下に開

頂点： $(\frac{7}{2}, 196)$

焦点： $(\frac{7}{2}, \frac{12543}{64})$

対称軸： $x = \frac{7}{2}$

準線： $y = \frac{12545}{64}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = - 16 {(3)}^{2} + 112 (3)$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f (3) = - 16 \cdot 9 + 112 (3)$

ステップ 2.2.1.2

$- 16$ に $9$ をかけます。

$f (3) = - 144 + 112 (3)$

ステップ 2.2.1.3

$112$ に $3$ をかけます。

$f (3) = - 144 + 336$

ステップ 2.2.2

$- 144$ と $336$ をたし算します。

$f (3) = 192$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $192$ です。

$192$

ステップ 2.3

$x = 3$ における $y$ 値は $192$ です。

$y = 192$

ステップ 2.4

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 192 \\ \frac{7}{2} & 196 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：下に開

頂点： $(\frac{7}{2}, 196)$

焦点： $(\frac{7}{2}, \frac{12543}{64})$

対称軸： $x = \frac{7}{2}$

準線： $y = \frac{12545}{64}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & 192 \\ \frac{7}{2} & 196 \end{array}$

ステップ 4

三角関数 例

三角関数例