三角関数例

$g (x) = \frac{1}{2^{x - 3}} + 1$

ステップ 1

式 $\frac{1}{2^{x - 3}} + 1$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{x - 3}}{2^{x - 3}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.1.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

ステップ 3.1.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 3.1.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 3.1.1.2.1.1

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

ステップ 3.1.1.2.1.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

ステップ 3.1.1.2.2

指数 $x - 3$ が $\infty$ に近づくので、数 $2^{x - 3}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

ステップ 3.1.1.2.3

無限大プラスまたはマイナスある数は無限大です。

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

ステップ 3.1.1.3

指数 $x - 3$ が $\infty$ に近づくので、数 $2^{x - 3}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{\infty}{\infty}$

ステップ 3.1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{x - 3}}{2^{x - 3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.2

総和則では、 $1 + 2^{x - 3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.4

$\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.4.1

$f (x) = 2^{x}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.3.4.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.4.1.2

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.4.1.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.4.2

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.4.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.4.4

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.4.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.4.6

$2^{x - 3}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.5

$0$ と $2^{x - 3} \ln (2)$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

ステップ 3.1.3.6

$f (x) = 2^{x}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.3.6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 3.1.3.6.2

$a$ = $2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 3.1.3.6.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

ステップ 3.1.3.7

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

ステップ 3.1.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

ステップ 3.1.3.9

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (1 + 0)}$

ステップ 3.1.3.10

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.11

$2^{x - 3}$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2)}$

ステップ 3.1.4

約分します。

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ステップ 3.1.4.1

$2^{x - 3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.1.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2)}$

ステップ 3.1.4.1.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 3.1.4.2

$\ln (2)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.4.2.1

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

ステップ 3.1.4.2.2

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} 1$

ステップ 3.2

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$1$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 1$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 1$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

三角関数 例

三角関数例