三角関数例

$f (x) = \frac{- 2 x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 1

式 $- \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 2}$ を ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2}$

ステップ 3.1.2

$x^{2} + 2$ を $2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 2}$

ステップ 3.1.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.3.1

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

ステップ 3.1.3.4

$2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} - (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 3.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to \infty} - \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.4

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x^{2} + 2}$ に書き換えます。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 3.5

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = \sqrt{x^{2}}$ です。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 3.6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 3.6.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

共通因数を約分します。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 3.6.2.2

式を書き換えます。

$- 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 3.6.3

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 3.6.4

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 3.6.5

根号の下に極限を移動させます。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 3.6.6

$x$ が $\infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 3.6.7

$x$ が $\infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 3.6.8

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 3.7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

ステップ 3.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

ステップ 3.8.1.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

ステップ 3.8.1.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$- 2 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.8.2

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.2.1

共通因数を約分します。

$- 2 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.8.2.2

式を書き換えます。

$- 2 \cdot 1$

ステップ 3.8.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2$

ステップ 4

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 2}}{x^{2} + 2}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 2}$ を ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 2}$

ステップ 4.1.2

$x^{2} + 2$ を $2 x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 2}$

ステップ 4.1.3

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

ステップ 4.1.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{(x^{2} + 2) (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 2) \cdot 1}$

ステップ 4.1.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

ステップ 4.1.3.4

$2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to - \infty} - (2 x {(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 4.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.3

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.4

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{x^{2} + 2}$ に書き換えます。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

ステップ 4.5

分子と分母を分母の $x$ の最大べき乗で割ると、 $x = - \sqrt{x^{2}}$ です。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.1

$x$ の共通因数を約分します。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.6.2.1

共通因数を約分します。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6.2.2

式を書き換えます。

$- 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6.3

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- 2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6.4

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6.5

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6.6

根号の下に極限を移動させます。

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6.7

$x$ が $- \infty$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6.8

$x$ が $- \infty$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{2}{x^{2}}}}$

ステップ 4.6.9

$2$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

ステップ 4.7

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{x^{2}}$ は $0$ に近づきます。

$- 2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

ステップ 4.8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$- 2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 2 \cdot 0}}$

ステップ 4.8.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 2 \cdot 0}})$

ステップ 4.8.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

ステップ 4.8.2.2

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

ステップ 4.8.2.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$- 2 (- \frac{1}{1})$

ステップ 4.8.3

$1$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.3.1

共通因数を約分します。

$- 2 (- \frac{1}{1})$

ステップ 4.8.3.2

式を書き換えます。

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

ステップ 4.8.4

$- 2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.8.4.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 2 \cdot - 1$

ステップ 4.8.4.2

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2$

ステップ 5

水平漸近線のリスト：

$y = - 2, 2$

ステップ 6

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。これはラジカルを含む式なので、多項式の割り算はできません。

斜めの漸近線を求められません

ステップ 7

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = - 2, 2$

斜めの漸近線を求められません

ステップ 8

三角関数 例

三角関数例