三角関数例

$\cos (\arctan (x))$

ステップ 1

式 $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

約分します。

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ステップ 3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 3.1.2

$1 + x^{2}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{1 + x^{2}}$

ステップ 3.1.3

共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.3.1

$1$ を掛けます。

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.2

共通因数を約分します。

$lim_{x \to \infty} \frac{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) \cdot 1}$

ステップ 3.1.3.3

式を書き換えます。

$lim_{x \to \infty} \frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

ステップ 3.1.3.4

${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を $1$ で割ります。

$lim_{x \to \infty} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$

ステップ 3.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.2

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ は $0$ に近づきます。

$0$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 5

多項式の割り算を利用して斜めの漸近線を求めます。これはラジカルを含む式なので、多項式の割り算はできません。

斜めの漸近線を求められません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 0$

斜めの漸近線を求められません

ステップ 7

三角関数 例

三角関数例