三角関数例

$\log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$

ステップ 1

$y = \log_{3} (\frac{81}{\sqrt{x - 1}})$ の定義域を求めると、 $x$ 値のリストが選択され、点のリストを求めることができます。このことで、累乗根をグラフにできます。

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ステップ 1.1

$\log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1} > 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

たすき掛けします。

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ステップ 1.2.1.1

右辺の分子と左辺の分母の積を、左辺の分子と右辺の分母の積と等しくしてたすき掛けします。

$0 \cdot (x - 1) > 81 \sqrt{x - 1}$

ステップ 1.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1.2.1

$0$ に $x - 1$ をかけます。

$0 > 81 \sqrt{x - 1}$

ステップ 1.2.2

$81 \sqrt{x - 1}$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$81 \sqrt{x - 1} < 0$

ステップ 1.2.3

不等式の左辺から根を削除するため、不等式の両辺を2乗します。

${(81 \sqrt{x - 1})}^{2} < 0^{2}$

ステップ 1.2.4

不等式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x - 1}$ を ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

${(81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

積の法則を $81 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$81^{2} {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

$81$ を $2$ 乗します。

$6561 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < 0^{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$6561 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < 0^{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$6561 {(x - 1)}^{1} < 0^{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.4

簡約します。

$6561 (x - 1) < 0^{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.5

分配則を当てはめます。

$6561 x + 6561 \cdot - 1 < 0^{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.6

$6561$ に $- 1$ をかけます。

$6561 x - 6561 < 0^{2}$

ステップ 1.2.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$6561 x - 6561 < 0$

ステップ 1.2.5

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.5.1

不等式の両辺に $6561$ を足します。

$6561 x < 6561$

ステップ 1.2.5.2

$6561 x < 6561$ の各項を $6561$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1

$6561 x < 6561$ の各項を $6561$ で割ります。

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

ステップ 1.2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1

$6561$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6561 x}{6561} < \frac{6561}{6561}$

ステップ 1.2.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{6561}{6561}$

ステップ 1.2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.3.1

$6561$ を $6561$ で割ります。

$x < 1$

ステップ 1.2.6

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 1.2.6.1

$\sqrt{x - 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x - 1 \geq 0$

ステップ 1.2.6.2

不等式の両辺に $1$ を足します。

$x \geq 1$

ステップ 1.2.6.3

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.2.6.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.2.6.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(1, \infty)$

ステップ 1.2.7

解はすべての真の区間からなります。

$x > 1$

ステップ 1.3

$\sqrt{x - 1}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x - 1 \geq 0$

ステップ 1.4

不等式の両辺に $1$ を足します。

$x \geq 1$

ステップ 1.5

$\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 1 = 0$

ステップ 1.6

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 1.7

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 1}$

区間記号：

$(1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 1}$

ステップ 2

ラジカル式の端点を求めるために、 $x$ の値 $1$ を定義域内の最小値として $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ に代入します。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{(1) - 1})$

ステップ 2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(1) - 1}}{0})$

ステップ 2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

$f (1) = Undefined$

未定義

ステップ 3

無理式の端点は $(1, Undefined)$ です。

$(1, Undefined)$

ステップ 4

定義域からいくつかの $x$ 値を選択します。無理式の端点の $x$ 値の隣にくるように値を選択するとより便利です。

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ステップ 4.1

$x$ 値の $2$ を $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ に代入します。この場合、点は $(2, 4)$ です。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(2) - 1}}{(2) - 1})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ から $1$ を引きます。

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{1}}{2 - 1})$

ステップ 4.1.2.1.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{2 - 1})$

ステップ 4.1.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$2$ から $1$ を引きます。

$f (2) = \log_{3} (\frac{81 \cdot 1}{1})$

ステップ 4.1.2.2.2

$81$ に $1$ をかけます。

$f (2) = \log_{3} (\frac{81}{1})$

ステップ 4.1.2.3

$\frac{81}{1}$ の対数の底 $3$ は $4$ です。

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ステップ 4.1.2.3.1

方程式として書き換えます。

$\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$

ステップ 4.1.2.3.2

対数の定義を利用して $\log_{3} (\frac{81}{1}) = x$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で、 $b$ が $1$ に等しくなければ、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$3^{x} = \frac{81}{1}$

ステップ 4.1.2.3.3

すべての方程式に等しい基数を持つ同等の式を作成します。

$3^{x} = 3^{4}$

ステップ 4.1.2.3.4

底が同じなので、2つの式は指数も等しい場合に限り等しいです。

$x = 4$

ステップ 4.1.2.3.5

変数 $x$ は $4$ に等しいです。

$f (2) = 4$

ステップ 4.1.2.4

最終的な答えは $4$ です。

$y = 4$

ステップ 4.2

$x$ 値の $3$ を $f (x) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{x - 1}}{x - 1})$ に代入します。この場合、点は $(3, \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2}))$ です。

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ステップ 4.2.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{(3) - 1}}{(3) - 1})$

ステップ 4.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$3$ から $1$ を引きます。

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{3 - 1})$

ステップ 4.2.2.2

$3$ から $1$ を引きます。

$f (3) = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

ステップ 4.2.2.3

最終的な答えは $\log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$ です。

$y = \log_{3} (\frac{81 \sqrt{2}}{2})$

ステップ 4.3

平方根は、頂点 $(1, Undefined), (2, 4), (3, 3.68)$ の周りの点を利用してグラフにすることができます。

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & Undefined \\ 2 & 4 \\ 3 & 3.68 \end{array}$

ステップ 5

三角関数 例

三角関数例