三角関数例

$x^{4} - 10 x^{2} + 9 < 0$

ステップ 1

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $u^{2} - 10 u + 9$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $9$ で、その和が $- 10$ です。

$- 9, - 1$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 9) (u - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 9 = 0$

$u - 1 = 0$

ステップ 4

$u - 9$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 4.1

$u - 9$ が $0$ に等しいとします。

$u - 9 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$u = 9$

ステップ 5

$u - 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 5.1

$u - 1$ が $0$ に等しいとします。

$u - 1 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$u = 1$

ステップ 6

最終解は $(u - 9) (u - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 9, 1$

ステップ 7

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = 1$

ステップ 8

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = 9$

ステップ 9

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 9.2

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 9.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 9.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 9.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 9.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 9.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 10

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = 1$

ステップ 11

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 11.1

括弧を削除します。

$x^{2} = 1$

ステップ 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 11.3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 11.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 11.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 11.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 11.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 12

$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ の解は $x = 3, - 3, 1, - 1$ です。

$x = 3, - 3, 1, - 1$

ステップ 13

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 14

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 14.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 14.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{4} - 10 {(- 6)}^{2} + 9 < 0$

ステップ 14.1.3

左辺 $945$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.2

区間 $- 3 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.2.1

区間 $- 3 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 14.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{4} - 10 {(- 2)}^{2} + 9 < 0$

ステップ 14.2.3

左辺 $- 15$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 14.3

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.3.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 14.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} + 9 < 0$

ステップ 14.3.3

左辺 $9$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.4

区間 $1 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.4.1

区間 $1 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 14.4.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{4} - 10 {(2)}^{2} + 9 < 0$

ステップ 14.4.3

左辺 $- 15$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 14.5

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 14.5.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 14.5.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{4} - 10 {(6)}^{2} + 9 < 0$

ステップ 14.5.3

左辺 $945$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 14.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$1 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$1 < x < 3$ 真

$x > 3$ 偽

ステップ 15

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 < x < - 1$ または $1 < x < 3$

ステップ 16

三角関数 例

三角関数例