三角関数例

$2 \tan (x) > \sqrt{2}$

ステップ 1

$2 \tan (x) > \sqrt{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$2 \tan (x) > \sqrt{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \tan (x)}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \tan (x)}{2} > \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 1.2.1.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x > \arctan (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\arctan (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の値を求めます。

$x > 0.6154797$

ステップ 4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.6154797$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.6154797$

ステップ 5.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.6154797$

ステップ 5.3

$3.14159265$ と $0.6154797$ をたし算します。

$x = 3.75707236$

ステップ 6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.6154797 + π n, 3.75707236 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$3.75707236 + π n$ と $0.6154797 + π n$ を $0.6154797 + π n$ にまとめます。

$x = 0.6154797 + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$2 \tan (x) - \sqrt{2}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\tan (x)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$2 \tan (1) > \sqrt{2}$

ステップ 11.1.3

左辺 $3.11481544$ は右辺 $1.41421356$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.2

区間 $\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$2 \tan (3) > \sqrt{2}$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 0.28509308$ は右辺 $1.41421356$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ 真

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ 偽

$0.6154797 < x < \frac{π}{2}$ 真

$\frac{π}{2} < x < 3.75707236$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$0.6154797 + π n < x < \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

三角関数 例

三角関数例