三角関数例

$\tan (x) < 2 \sin (x)$

ステップ 1

$\tan (x) < 2 \sin (x)$ の各項を $\tan (x)$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$\tan (x) < 2 \sin (x)$ の各項を $\tan (x)$ で割ります。

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\tan (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\tan (x)}{\tan (x)} < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$1 < \frac{2 \sin (x)}{\tan (x)}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.3.1

分数を分解します。

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\tan (x)}$

ステップ 1.3.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$1 < \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 1.3.3

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$1 < \frac{2}{1} (\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 1.3.4

$\sin (x)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 1.3.5

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.3.5.1

共通因数を約分します。

$1 < \frac{2}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})$

ステップ 1.3.5.2

式を書き換えます。

$1 < \frac{2}{1} \cos (x)$

ステップ 1.3.6

$2$ を $1$ で割ります。

$1 < 2 \cos (x)$

ステップ 2

$\cos (x)$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$2 \cos (x) > 1$

ステップ 3

$2 \cos (x) > 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$2 \cos (x) > 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} > \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) > \frac{1}{2}$

ステップ 4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x > \arccos (\frac{1}{2})$

ステップ 5

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x > \frac{π}{3}$

ステップ 6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 7

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 7.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 7.3

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 7.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 8

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 9

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

$\tan (x) - 2 \sin (x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\tan (x)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.31$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $1.31$ で置き換えます。

$\tan (1.31) < 2 \sin (1.31)$

ステップ 12.1.3

左辺 $3.74708097$ は右辺 $1.9323699$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.2

区間 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$\tan (3) < 2 \sin (3)$

ステップ 12.2.3

左辺 $- 0.14254654$ は右辺 $0.28224001$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.3

区間 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$\tan (5) < 2 \sin (5)$

ステップ 12.3.3

左辺 $- 3.380515$ は右辺 $- 1.91784854$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.4

区間 $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\tan (6) < 2 \sin (6)$

ステップ 12.4.3

左辺 $- 0.29100619$ は右辺 $- 0.55883099$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.5

区間 $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.5.1

区間 $\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 7.59$

ステップ 12.5.2

$x$ を元の不等式の $7.59$ で置き換えます。

$\tan (7.59) < 2 \sin (7.59)$

ステップ 12.5.3

左辺 $3.69973691$ は右辺 $1.93071743$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.6

区間 $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.6.1

区間 $\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 9$

ステップ 12.6.2

$x$ を元の不等式の $9$ で置き換えます。

$\tan (9) < 2 \sin (9)$

ステップ 12.6.3

左辺 $- 0.45231565$ は右辺 $0.82423697$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.7

区間 $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.7.1

区間 $\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 11$

ステップ 12.7.2

$x$ を元の不等式の $11$ で置き換えます。

$\tan (11) < 2 \sin (11)$

ステップ 12.7.3

左辺 $- 225.95084645$ は右辺 $- 1.99998041$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.8

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 偽

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 真

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ 真

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ 偽

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ 偽

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ 真

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ 真

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 偽

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ 真

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{3}$ 真

$\frac{5 π}{3} < x < \frac{7 π}{3}$ 偽

$\frac{7 π}{3} < x < \frac{5 π}{2}$ 偽

$\frac{5 π}{2} < x < \frac{7 π}{2}$ 真

$\frac{7 π}{2} < x < \frac{11 π}{3}$ 真

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n$ or $\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n$ or $\frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ , for any integer $n$

ステップ 14

区間をまとめます。

$\frac{5 π}{2} + 2 π n < x < \frac{7 π}{2} + 2 π n or \frac{π}{2} + 2 π n < x < \frac{3 π}{2} + 2 π n or \frac{3 π}{2} + 2 π n < x < \frac{5 π}{3} + 2 π n or \frac{7 π}{2} + 2 π n < x < \frac{11 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

三角関数 例

三角関数例