三角関数例

$\sin (2 θ - \frac{π}{2}) = - 1$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $θ$ を取り出します。

$2 θ - \frac{π}{2} = \arcsin (- 1)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$2 θ - \frac{π}{2} = - \frac{π}{2}$

ステップ 3

$θ$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$2 θ = - \frac{π}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$2 θ = \frac{- π + π}{2}$

ステップ 3.3

$- π$ と $π$ をたし算します。

$2 θ = \frac{0}{2}$

ステップ 3.4

$0$ を $2$ で割ります。

$2 θ = 0$

ステップ 4

$2 θ = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$2 θ = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{0}{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$θ = 0$

ステップ 5

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$2 θ - \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$2 θ - \frac{π}{2} = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 6.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$2 θ - \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

ステップ 6.3

$θ$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

$θ$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.3.1.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$2 θ = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 6.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$2 θ = \frac{3 π + π}{2}$

ステップ 6.3.1.3

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$2 θ = \frac{4 π}{2}$

ステップ 6.3.1.4

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.4.1

$2$ を $4 π$ で因数分解します。

$2 θ = \frac{2 (2 π)}{2}$

ステップ 6.3.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 θ = \frac{2 (2 π)}{2 (1)}$

ステップ 6.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$2 θ = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$2 θ = \frac{2 π}{1}$

ステップ 6.3.1.4.2.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 θ = 2 π$

ステップ 6.3.2

$2 θ = 2 π$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$2 θ = 2 π$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{2 π}{2}$

ステップ 6.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 θ}{2} = \frac{2 π}{2}$

ステップ 6.3.2.2.1.2

$θ$ を $1$ で割ります。

$θ = \frac{2 π}{2}$

ステップ 6.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.3.1.1

共通因数を約分します。

$θ = \frac{2 π}{2}$

ステップ 6.3.2.3.1.2

$π$ を $1$ で割ります。

$θ = π$

ステップ 7

$\sin (2 θ - \frac{π}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 8

$\sin (2 θ - \frac{π}{2})$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$θ = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$θ = π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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