三角関数例

y = h (x) + 2

$y = h (x) + 2$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

方程式の両辺から

$h (x)$ を引きます。

$y - h x = 2$

ステップ 1.1.2

$y$ と

$- h x$ を並べ替えます。

$- h x + y = 2$

ステップ 1.2

各項を

$2$ で割り、右辺を1と等しくします。

$- \frac{h x}{2} + \frac{y}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 1.3

方程式の各項を簡約し、右辺を

$1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が

$1$ に等しいことが必要です。

$\frac{y}{2} - \frac{h x}{2} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の頂点と漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数

$h$ は原点からのx補正値を、

$k$ は原点

$a$ からのy補正値を表します。

$a = \sqrt{2}$

$b = \sqrt{2}$

$k = 0$

$h = 0$

ステップ 4

双曲線の中心は

$(h, k)$ の形に従います。

$h$ と

$k$ の値に代入します。

$(0, 0)$

ステップ 5

中心から焦点までの距離

$c$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

次の式を利用して双曲線の中心から焦点までの距離を求めます。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 5.2

$a$ と

$b$ の値を公式に代入します。

$\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2^{1} + {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.1.5

指数を求めます。

$\sqrt{2 + {(\sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 5.3.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.3.2.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.3.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{2 + 2^{1}}$

ステップ 5.3.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{2 + 2}$

ステップ 5.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$2$ と

$2$ をたし算します。

$\sqrt{4}$

ステップ 5.3.3.2

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{2^{2}}$

ステップ 5.3.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$2$

ステップ 6

対頂点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

双曲線の1番目の頂点は、

$a$ を

$h$ に加えることで求められます。

$(h + a, k)$

ステップ 6.2

$h$ と

$a$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(\sqrt{2}, 0)$

ステップ 6.3

双曲線の2番目の頂点は、

$h$ から

$a$ を引くことで求められます。

$(h - a, k)$

ステップ 6.4

$h$ と

$a$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \sqrt{2}, 0)$

ステップ 6.5

双曲線の交点は

$(h \pm a, k)$ の形をとります。双曲線は2つの頂点をもちます。

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

ステップ 7

焦点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

双曲線の1番目の焦点は、

$c$ を

$h$ に加えることで求められます。

$(h + c, k)$

ステップ 7.2

$h$ と

$c$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(2, 0)$

ステップ 7.3

双曲線の2番目の焦点は、

$h$ から

$c$ を引くことで求められます。

$(h - c, k)$

ステップ 7.4

$h$ と

$c$ 、および

$k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- 2, 0)$

ステップ 7.5

双曲線の焦点は

$(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ の形をとります。双曲線は2つの焦点をもちます。

$(2, 0), (- 2, 0)$

ステップ 8

離心率を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

次の公式を利用して離心率を求めます。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

ステップ 8.2

$a$ と

$b$ の値を公式に代入します。

$\frac{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.1.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{1} + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.1.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2 + {\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2 + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2 + 2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 + 2^{1}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.2.5

指数を求めます。

$\frac{\sqrt{2 + 2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.3

$2$ と

$2$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.4

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.2

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 8.3.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ に

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.3.2

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 8.3.3.3

$\sqrt{2}$ を

$1$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 8.3.3.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.3.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 8.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 8.3.3.6.5

指数を求めます。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 8.3.4.2

$\sqrt{2}$ を

$1$ で割ります。

$\sqrt{2}$

ステップ 9

焦点パラメーターを求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

次の公式を利用して双曲線の焦点パラメータの値を求めます。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

ステップ 9.2

$b$ と

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ の値を公式に代入します。

$\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2}$

ステップ 9.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

${\sqrt{2}}^{2}$ を

$2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2}$ を

$2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

ステップ 9.3.1.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

ステップ 9.3.1.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 9.3.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2^{\frac{2}{2}}}{2}$

ステップ 9.3.1.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2^{1}}{2}$

ステップ 9.3.1.5

指数を求めます。

$\frac{2}{2}$

ステップ 9.3.2

$2$ を

$2$ で割ります。

$1$

ステップ 10

この双曲線は左右に開なので、漸近線は

$y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ の形に従います。

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

ステップ 11

$1 \cdot x + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$1 \cdot x$ と

$0$ をたし算します。

$y = 1 \cdot x$

ステップ 11.2

$x$ に

$1$ をかけます。

$y = x$

ステップ 12

$- 1 \cdot x + 0$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$- 1 \cdot x$ と

$0$ をたし算します。

$y = - 1 \cdot x$

ステップ 12.2

$- 1 x$ を

$- x$ に書き換えます。

$y = - x$

ステップ 13

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = x, y = - x$

ステップ 14

これらの値は双曲線をグラフ化し、解析するための重要な値を表しています。

中心：

$(0, 0)$

頂点：

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

焦点：

$(2, 0), (- 2, 0)$

偏心：

$\sqrt{2}$

焦点のパラメータ：

$1$

漸近線：

$y = x$ 、

$y = - x$

ステップ 15

三角関数 例

三角関数例