三角関数例

$x^{2} - 5 y^{2} = 6$

ステップ 1

$y$ について解きます。

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$

ステップ 1.2

$- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$ の各項を $- 5$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$- 5 y^{2} = 6 - x^{2}$ の各項を $- 5$ で割ります。

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 5 y^{2}}{- 5} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

ステップ 1.2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{6}{- 5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = - \frac{6}{5} + \frac{- x^{2}}{- 5}$

ステップ 1.2.3.1.2

2つの負の値を割ると正の値になります。

$y^{2} = - \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}$

ステップ 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}}$

ステップ 1.4

$\pm \sqrt{- \frac{6}{5} + \frac{x^{2}}{5}}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.1

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{- 6 + x^{2}}{5}}$

ステップ 1.4.2

$\sqrt{\frac{- 6 + x^{2}}{5}}$ を $\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$

ステップ 1.4.3

$\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

ステップ 1.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.4.4.1

$\frac{\sqrt{- 6 + x^{2}}}{\sqrt{5}}$ に $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ をかけます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

ステップ 1.4.4.2

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

ステップ 1.4.4.3

$\sqrt{5}$ を $1$ 乗します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

ステップ 1.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 1.4.4.6

${\sqrt{5}}^{2}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{5}$ を $5^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5^{1}}$

ステップ 1.4.4.6.5

指数を求めます。

$y = \pm \frac{\sqrt{- 6 + x^{2}} \sqrt{5}}{5}$

ステップ 1.4.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- 6 + x^{2}) \cdot 5}}{5}$

ステップ 1.4.6

$\pm \frac{\sqrt{(- 6 + x^{2}) \cdot 5}}{5}$ の因数を並べ替えます。

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

ステップ 1.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

ステップ 1.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

ステップ 1.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$

ステップ 2

Find the domain to determine if the expression is continuous.

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ステップ 2.1

$\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$5 (- 6 + x^{2}) \geq 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

$5 (- 6 + x^{2})$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$5 \cdot - 6 + 5 x^{2} \geq 0$

ステップ 2.2.1.2

$5$ に $- 6$ をかけます。

$- 30 + 5 x^{2} \geq 0$

ステップ 2.2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x = - \sqrt{6}, \sqrt{6}$

ステップ 2.2.3

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \sqrt{6}$

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$

$x > \sqrt{6}$

ステップ 2.2.4

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.2.4.1

区間 $x < - \sqrt{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.2.4.1.1

区間 $x < - \sqrt{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 5$

ステップ 2.2.4.1.2

$x$ を元の不等式の $- 5$ で置き換えます。

$5 (- 6 + {(- 5)}^{2}) \geq 0$

ステップ 2.2.4.1.3

左辺 $95$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.2.4.2

区間 $- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.2.4.2.1

区間 $- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.2.4.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$5 (- 6 + {(0)}^{2}) \geq 0$

ステップ 2.2.4.2.3

左辺 $- 30$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.2.4.3

区間 $x > \sqrt{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.2.4.3.1

区間 $x > \sqrt{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 2.2.4.3.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$5 (- 6 + {(5)}^{2}) \geq 0$

ステップ 2.2.4.3.3

左辺 $95$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.2.4.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \sqrt{6}$ 真

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ 偽

$x > \sqrt{6}$ 真

$x < - \sqrt{6}$ 真

$- \sqrt{6} < x < \sqrt{6}$ 偽

$x > \sqrt{6}$ 真

ステップ 2.2.5

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - \sqrt{6}$ または $x \geq \sqrt{6}$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - \sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - \sqrt{6}, x \geq \sqrt{6}}$

区間記号：

$(- \infty, - \sqrt{6}] \cup [\sqrt{6}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - \sqrt{6}, x \geq \sqrt{6}}$

ステップ 3

定義域はすべての実数ではないので、 $\frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (- 6 + x^{2})}}{5}$ がすべての実数において連続ではありません。

連続ではない

ステップ 4

三角関数 例

三角関数例