三角関数例

{csc}^{2} (x) - csc (x) - 2 = 0

$\csc^{2} (x) - \csc (x) - 2 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

$u = \csc (x)$ とします。

$u$ を

$\csc (x)$ に代入します。

$u^{2} - u - 2 = 0$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して

$u^{2} - u - 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

$c$ で和が

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

$- 2$ で、その和が

$- 1$ です。

$- 2, 1$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 2) (u + 1) = 0$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を

$\csc (x)$ で置き換えます。

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$\csc (x) - 2 = 0$

$\csc (x) + 1 = 0$

ステップ 3

$\csc (x) - 2$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$\csc (x) - 2$ が

$0$ に等しいとします。

$\csc (x) - 2 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について

$\csc (x) - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に

$2$ を足します。

$\csc (x) = 2$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から

$x$ を取り出します。

$x = arccsc (2)$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$arccsc (2)$ の厳密値は

$\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.4

余割関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.5

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.5.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.2.1

$π$ と

$\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 3.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 3.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.3.1

$6$ を

$π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 3.2.5.3.2

$6 π$ から

$π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 3.2.6

$\csc (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.6.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.2.6.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.2.6.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.2.7

$\csc (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 4

$\csc (x) + 1$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\csc (x) + 1$ が

$0$ に等しいとします。

$\csc (x) + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について

$\csc (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から

$1$ を引きます。

$\csc (x) = - 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から

$x$ を取り出します。

$x = arccsc (- 1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$arccsc (- 1)$ の厳密値は

$- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from

$2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to

$π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 4.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から

$2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 4.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、

$2 π$ より小さく、

$2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.6

$\csc (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

$2 π$ を

$- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 4.2.7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.7.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.3.1

$2 π$ と

$\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.7.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.4.1

$2$ に

$2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.2.7.4.2

$4 π$ から

$π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.8

$\csc (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 5

最終解は

$(\csc (x) - 2) (\csc (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 6

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数

$n$

三角関数 例

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